Problème proposé par Pierre Leteurtre

  

Il est bien connu que dans tout triangle les trois hauteurs issues des sommets ainsi que les trois médianes et les trois bissectrices sont concourantes.
Puce annonce fièrement à Zig : « J’ai dessiné un triangle ABC non équilatéral dans lequel la médiane issue de A, la hauteur issue de B et la bissectrice issue de C sont concourantes ».
« Rien de plus banal, lui répond Zig, il en existe une infinité qui sont constructibles à la règle et au compas ».
« Certes, lui rétorque Puce, mais le mien est unique avec les caractéristiques suivantes :
1) les longueurs de ses côtés s’expriment exactement en nombres entiers de centimètres,
2) la longueur du côté opposé au sommet C est un nombre premier,
2) j’ai dessiné le triangle sur une feuille de format A4.
Q₁ Justifiez le commentaire de Zig et donnez un exemple de construction d’un triangle ayant la propriété annoncée par Puce à partir de deux segments représentant deux des côtés du triangle.
Q₂ Trouvez les dimensions du triangle peu banal dessiné par Puce.

   

Problème proposé par Pierre Renfer

Dans un triangle ABC, on note A’, B’, C’ les points de contact des cercles exinscrits face à A, B, C avec les côtés respectifs [BC], [CA],[AB].
Montrer que le centre du cercle (A’B’C’) appartient au cercle (ABC) si et seulement si le triangle ABC est rectangle.