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Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1990. Un zeste de calcul
Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1990. Un zeste de calcul
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| D1990. Un zeste de calcul |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.
 Pierre Henri Palmade,Maurice Bauval,Paul Voyer,Marc Humery,Jean Nicot,Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Sylvain Pont,Pierre Renfer,Marie-Christine Piquet,Antoine Verroken,Francesco Franzosi et Philipe Laugerat ont résolu le problème.Remarque: l'introduction du point S semble,a priori, superflue car si l'on connaît AR, on déduit trivialement AS = AR. Le titre du problème suggère que les calculs soient limités au maximum (un zeste, pas plus!). Un raisonnement géométrique sans le monidre calcul fait apparaître que S est milieu du côté BC. Dès lors le calcul de AS revient à appliquer la formule bien connue de la longueur d'une médiane dans un triangle en fonction des longueurs des côtés. |
