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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

La conjecture de Kimberling Imprimer Envoyer

On part de la séquence des nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ? et l'on construit successivement les séquences avec l'algorithme suivant  qui définit la séquence à partir de la séquence :

  • pour k , on écrit le (i+k)-ème terme puis le (i-k)-ème terme de ,
  • on écrit ensuite les termes restants de .

On obtient le tableau suivant :

 

On passe, par exemple, de de la manière suivante : on a i = 3. Pour k=1,2 et 3,on écrit le (i+k)-ème terme et le (i-k)-ème terme de , soit successivement le 4 ème terme, le 2 ème terme, le 5 ème terme, le 1 er terme et enfin le 6 ème terme , ce qui donne 6, 2, 7, 4 et 8. Ces cinq nombres étant écrits, on écrit les nombres restants 9,10, 11, 12,?.

Les éléments diagonaux du tableau figurant dans les cases coloriées en jaune constituent la séquence de Kimberling : 1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14,?.. La conjecture est la suivante : tout entier N quelconque figure-t-il dans cette séquence ?

 

 
La conjecture de Gilbreath Imprimer Envoyer

On écrit la suite des nombres premiers :

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ?.

Puis on calcule les différences en valeur absolue des termes consécutifs pris 2 à 2 et on poursuit le processus autant de fois que désiré et l'on obtient le tableau suivant :


Comme le montre ce tableau, les séquences successives (étapes n°1 à n°22) commencent toujours par 1. Gilbreath a conjecturé qu'il en était toujours ainsi. La conjecture a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs à .

 
La conjecture de Collatz Imprimer Envoyer

On part d'un nombre entier positif quelconque N. S'il est pair, on le divise par 2, soit N/2. Sinon, on le multiplie par 3 et on ajoute 1, soit 3N+1. Le processus est répété ad infinitum si nécessaire.

  • Exemple : 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

 

On constate que quelque soit N, le processus se termine toujours par 1. Existe-t-il un contre-exemple ?

 
La conjecture de Goldbach Imprimer Envoyer

Tout nombre N pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.

Exemples:
1) 4 = 2 + 2
2) 14 = 3 + 11
3) 96 = 7 + 89
4) 188 = 37 + 151

La conjecture a été vérifiée par ordinateur pour tous les entiers pairs jusqu'à 2.1018 à la date de novembre 2010. Est-elle toujours vraie quel que soit N? La plupart des mathématiciens pensent que oui.

 

 


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