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On dit par convention que l'ADN d'un entier positif n est déterminé par les trois fonctions:
τ (n) = nombre des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n,
φ(n) = nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus premiers avec n (fonction indicatrice d'Euler),
σ(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n.
Q1 Démontrer qu'il existe au moins deux paires d'entiers positifs x,y, x < y ≤ 2019 tels que x et y ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers positifs x,y, x < y qui ont ces propriétés.
Q2 Trouver au moins un ensemble de trois entiers x,y,z ,x < y < z tels que x,y et z ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de triplets d'entiers positifs x,y,z, x < y < z qui ont ces propriétés.
Q3 Pour les plus courageux : démontrer que pour tout entier k ≥ 2, il existe k nombres entiers naturels distincts qui ont mêmes ADN.
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...la géométrie. Zig demande à Puce de tirer huit traits droits sur une feuille de papier de sorte que deux d'entre eux ne sont jamais parallèles. Pour chaque triangle équilatéral formé par trois de ces traits Puce reçoit trois points et pour tout triangle isocèle non équilatéral il reçoit un point. Déterminez le score maximal que Puce peut atteindre. Même question avec onze traits. Justifiez vos réponses.
Dans chacun des deux cas, tracez une configuration qui donne le score maximal.
Pour les plus courageux: que vaut le plus petit entier n tel que le score s'améliore de 2019 points quand Puce trace le (n + 1)ième trait.
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Problème proposé par David Draï
Je trace deux triangles équilatéraux, le premier de côté 3 centimètres et le second de côté 5 centimètres.
Dans le premier triangle je choisis au hasard un premier point sur l'un des trois côtés puis un deuxième point sur l'un des deux autres côtés. Dans le second triangle, je choisis au hasard deux points intérieurs (côtés inclus).
Q1 Déterminer dans chacun des deux triangles la longueur moyenne* du segment joignant les deux points ainsi choisis.
Q2 Je réalise 1000 fois l’expérience dans chacun des deux triangles de façon à estimer la longueur moyenne du segment avec une probabilité de ne pas me tromper égale à 95%. Déterminer le triangle où l'estimation de la longueur moyenne du segment est la plus précise.
* Nota: i.e. l'espérance mathématique de la longueur du segment
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Problèmes ouverts
