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Problème proposé par Michel Boulant
Soit un nombre premier p. On désigne par N(p) le nombre de façons de présenter 1/p comme somme de trois fractions égyptiennes pas nécessairement distinctes.
Q1 Démontrer que pour tout p ≥ 11
Q11 N(p) > 10 [*]
Q12 N(p) > 30 [**]
Q13 N(p) > 50 [***]
Q2 Trouver le plus grand entier N0 tel que pour tout p ≥ 11, N(p) ≥ N0 [****]
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Problèmes proposés par Michel Lafond
Q1 Quels sont les chiffres c du système décimal qui permettent d'écrire 2020 = .......en utilisant exclusivement le chiffre c le symbole + et le point décimal ? [**]
PS : on a le droit d'écrire une infinité de fois le même chiffre.
Q2 Soit un entier n. Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,...on cherche une formule (F) qui permet d’exprimer n en fonction des neuf chiffres de 1 à 9 pris une fois et une seule dans cet ordre (les concaténations sont interdites) .
Par exemple avec n = 2020, on sait trouver une formule (F) telle que n = 1 + 2 – 3 + 4*( – 5 + 6 + 7*8*9).
Déterminer le plus grand entier n₀ tel qu’on sait trouver pour chaque entier variant de 1 à n₀ au moins une formule (F).[****]
Pour les plus courageux : trouver n₀ tel qu’on sait trouver pour chaque entier variant de 1 à n₀ au moins une formule (F) avec les chiffres de 1 à 9 pris une fois et une seule dans un ordre quelconque [*****]
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Problème proposé par Jean Nicot
La fonction f(x) de la variable réelle x est définie par (f(x))2 = x + f(x+1)
Q1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f et prouver qu’il existe un nombre réel x0 tel que f(x0) = 0
Q2 Calculer f(–1), f(0),f(1),f(10) et f(30) avec 12 chiffres significatifs.
Q3 A partir du nombre réel f(0) précédemment calculé, on considère les deux suites de nombres réels définies par les relations de récurrence un+1 = u2n– n et u0 = f(0) + 10-9 et vn+1 = v2n – n et v0 = f(0) – 10-9.
Comparer u1,u10,u30 et v1,v10,v30 respectivement à f(1),f(10),f(30).
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Problèmes ouverts
