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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes ouverts
Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
Problèmes ouverts
A4932. Bien isolée en Diophantie Imprimer Envoyer

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Démontrer que l’équation diophantienne a2 + p3 = b4 dans laquelle l’entier p est un nombre premier et les entiers  a et b sont positifs, admet au moins une solution en p.
On désigne par p1 la plus petite appelée le « petit frère ». Prouver que  si la suivante p2 appelée le « très grand frère » existe, elle a au moins 12 chiffres.
Pour les plus courageux :
Existe-t-il des solutions en p nombre premier de l’équation diophantienne a2+p3=b2k dans laquelle a,b et k sont des entiers positifs avec 3 ≤ k ≤ 5?



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D2928. Un carrefour très fréquenté Imprimer Envoyer

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Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ).
On désigne par Ha l’orthocentre du triangle BCD et par Pa ,Qa et Ra les projections de A sur les droites BC,CD et DB.
De manière analogue on définit respectivement pour chacun des points B,C et D :
-    Hb orthocentre du triangle CDA et les projections successives de B : Pb sur CD, Qb sur DA et Rb sur AC,
-    Hc orthocentre du triangle DAB et les projections successives de C : Pc sur DA, Qc sur AB et Rc sur  BD,
-    Hd orthocentre du triangle ABC et les projections successives de D : Pd sur AB, Qd sur BC et Rd sur CA.
Q1 Démontrer que les huit droites PaQa , PbQb, PcQc, PdQd, AHa, BHb, CHc et DHd sont concourantes en un même point S.
On considère le quadrilatère HaHbHcHd et on trace sur les droites passant par ses sommets les quatre ensembles de trois points Xi ,Yi, Zi, homologues aux points Pi ,Qi, Ri pour i = a,b,c,d.
Q2 Démontrer que :
-    les vingt-quatre points Pa....Zd se répartissent à la fois en trois sous-ensembles de huit points situés sur trois cercles concentriques de centre S et en quatre sous-ensembles de six points situés sur quatre droites concourantes en S
-    les huit cercles d’Euler des triangles ABC, BCD, CDA, DAB, HaHbHc, HbHcHd, HcHdHa, HdHaHb. passent par ce même point S.



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G1915. Deux quadrillages posés l'un sur l'autre Imprimer Envoyer

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Problème proposé par Dominique Chesneau
On pose l’un sur l’autre et de façon aléatoire(1) deux quadrillages orthonormés dont les bandes ont pour largeur 10 centimètres. Déterminer la surface moyenne des morceaux disjoints délimités par les intersections des lignes droites de ces deux quadrillages.

(1)Nota: de façon plus précise l'angle entre les bandes des deux quadrillages est choisi au hasard



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