Rappelons qu’un carré magique d’ordre n (traditionnel) noté CM_n est un carré de n × n cases, rempli par les nombres 1, 2, 3, …, n² de telle sorte que les sommes des n lignes, n colonnes et 2 diagonales soient égales.

On dit qu’il y a incrustation (n ; m) si un CM_n est à l’intérieur d’un CM_m.
Ci-après un exemple d’incrustation (3 ; 9)

Q₁. Démontrer qu’il existe une incrustation (n ; n²)  pour tout entier n≥ 3 .
Q₂. Démontrer que dans toute incrustation (n ; m) on a   ,
Q3. Trouver une incrustation (3 ; 8).

Problème proposé par Pierre Leteurtre

Pour représenter les étapes de montagne du Tour de France, Puce utilise un quadrillage dans lequel il trace un chemin de longueur 2n partant du point (0,0) jusqu'au point (2n,0) avec des vecteurs montants ou descendants selon la catégorie des cols: hors catégorie (+4,+4), 1ère catégorie (+3,+3), 2ème catégorie (+2,+2), 3ème catégorie (+1,+1).Voici un exemple d'un chemin de longueur 22 avec 5 cols.

 












Pour représenter une étape pyrénéenne de 4 cols, Puce constate qu'il sait tracer un chemin de longueur 14.
Q₁ Quel est le nombre N maximum de chemins possibles?
Q₂ Parmi ces N chemins, recenser:
- les chemins avec un col hors catégorie,
- les chemins avec un col de 1ère catégorie
- les chemins avec des cols de 2ème et 3ème catégories exclusivement.
- les chemins symétriques par rapport au point (7,0)
Pour les plus courageux: toujours avec 4 cols, déterminer les nombres de chemins symétriques de longueurs respectives 16,18 et 20.