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On s’intéresse aux progressions arithmétiques d’entiers strictement positifs désignées par PA1(k,p1,r1) et PA2(k,p2,r2) qui contiennent k termes et dont les premiers termes sont respectivement p₁ et p₂ et les raisons sont respectivement r1 > 0 et r2 > 0, r1 ≠ r2, de sorte que les termes de PA1(k,p1,r1) sont respectivement divisibles par les termes de même rang de PA2(k,p2,r2).
Par exemple, les deux progressions PA1(2,6,4) qui contient les deux termes m = 6 et 6 + r1 = 10 et PA2(2,3,2) qui contient les deux termes m = 3 et 3 + r2 = 5 respectent ces conditions.
Dans les trois cas ci-après, déterminer toutes les valeurs possibles de p1 en fonction de p2.
1er cas
k = 3, r1 = 1 et r2 = 2. Application numérique : recenser toutes les valeurs possibles de p1 ≤10000.
2ème cas
k = 4, r1 = 2 et r2 = 3. Application numérique : recenser toutes les valeurs possibles de p1 ≤10000
3ème cas
k = 5, r1 = 2 et r2 = 3. Application numérique : recenser toutes les valeurs possibles de p1 ≤100000
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Problème proposé par Jacques Boudier
Q1 Démontrer que l’on sait trouver au moins un entier N strictement positif qui est la somme de deux carrés parfaits d'au moins quatre manières différentes, à savoir N = a² + b² = c² + d² = e² + f² = g² + h² avec a,b,c,d,e,f,g,h entiers distincts > 0 obéissant à la relation ab + cd = 2(ef + gh).
Q2 On suppose qu’il existe un carré magique Cb (5x5) qui reste magique si les 25 entiers positifs distincts qu’il contient sont élevés au carré. Cb est alors appelé carré bimagique. A l’intérieur de Cb, on retient les 17 entiers repérés par les croix noires (X) qui forment une étoile bimagique Eb.
Donner l’exemple d’une telle étoile dont tous les termes positifs sont inférieurs à 2020. Montrer que l’on peut compléter cette étoile avec huit entiers positifs (x) placés le long des bords du carré (5x5) de sorte que le carré constitué des 25 entiers soit magique.
Pour les plus courageux : est-il possible que le carré (5 x 5) ainsi obtenu soit bimagique ?
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Problèmes ouverts
