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Problème proposé par Pierre Renfer
En musique dodécaphonique, on utilise comme notes les douze demi-tons de la gamme bien tempéré, à une octave près.On peut donc assimiler l’ensemble des notes au groupe Z/12Z des entiers, modulo 12.
On appelle série un dodéca-uplet (a1,a2,a3,....,a12) de douze notes distinctes.
Sur l’ensemble Σ des 12 ! séries, on considère les quatre transformations suivantes :
Le déphasage D transforme la série (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a2,a3,....,a12,a1)
La rétrogradation R transforme la série (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a12,a11,a10,....,a2,a1).(On joue la série à l’envers)
La transposition T transforme (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a1 + 1,a2 + 1,a3 + 1,....,a12 + 1)(On ajoute un demi-ton à chaque note)
La symétrie S transforme (a1,a2,a3,....,a12) en la série (– a1,– a2,– a3,....,– a12)
On note G le groupe engendré par ces quatre transformations de Σ
Question 1
Montrer que le groupe G est d’ordre 576
Question 2
On fait opérer le groupe G sur Σ. Combien obtient-on d’orbites (classes d’équivalences de séries) ?
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