1er cas : blocs de 4 chiffres
On considère l’ensemble E des blocs de quatre chiffres décimaux (a,b,c,d) avec a,b,c,d ∈ {0,1,…,9}.
On définit une application T : E → E par :T(a,b,c,d) = (b,c,d,e), où e ≡ a+b+c+d (modulo 10).
Q₁. Montrer que T est bijective.
Q₂. Pour tout bloc initial, définir la suite b₁=(a,b,c,d), bn+1 = T(bₙ). Montrer qu’il existe n ≥1 tel que Tⁿ(b₁)=b₁.
Q₃. En déduire que E se décompose en cycles disjoints.
Q₄. Déterminer les longueurs possibles des cycles et le nombre de cycles de chaque longueur
2ème cas : blocs de 5 chiffres
On définit l’application T(a,b,c,d,e) = (b,c,d,e,f)  où  f est le dernier chiffre de a+b+c+d+e, c.-à-d.  f ≡ a+b+c+d+e (mod 10).
Mêmes questions que précédemment.

Diophante choisit trois entiers positifs distincts a,b et c inférieurs à 2026 tels que chacun d’eux est le produit de quatre nombres premiers distincts et  dans chacune des paires (a,b), (a,c) et (b,c) il y  a exactement trois nombres premiers en commun.
En classant par ordre croissant les diviseurs a₁ = 1, a₂,a₃ ,…..a_k = a de l’entier a, Diophante obtient la relation a₁₅ = a₇*a₈. Zig qui a reçu l’entier b et Puce l’entier c opèrent de la même manière et constatent respectivement 
b₁₅ = b₅*b₈ et c₁₅ = c₆*c₉.
Sachant que a < c, déterminer le trio (a,b,c) et prouver qu’il est unique en son genre. 
Nota : le problème se résout avec un automate mais on privilégiera un traitement purement manuel