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Soient trois entiers strictement positifs a,b et c.
Q1 Déterminer le nombre maximum N d'entiers positifs distincts qu'il est possible d'obtenir en combinant ces trois entiers avec les quatre opérations élémentaitres +, ‒ , *, / et des parenthèses (..) utilisées en tant que de besoin. Par exemple : a + b + c, a + b ‒ c, a*b/c, (b ‒ a)*c, c / (b + a), etc.....
Q2 Trouver le triplet (a,b,c) de produit abc minimal qui donne N.
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Problème proposé par Simon Pellicer
La commune de Diophantix a la forme d'un carré de 3 kilomètres de côté et compte 200 habitants qui occupent des maisons individuelles réparties aléatoirement à l'exception de celle du maire qui est située en plein centre.Chaque maison est occupée par une seule personne qui connaît les adresses de tout le monde dans la commune.
Le maire veut organiser chez lui une réunion au cours de laquelle participent tous ses administrés. A cette fin, partant de chez lui, il va de maison en maison pour avertir leurs occupants qu’il y a une réunion.
Chaque villageois est à son domicile et une fois informé, peut aller directement dans la maison du maire ou aider le maire à avertir les habitants.
Tout le monde se déplace à pied à la vitesse de 6 km/h et peut emprunter n'importe quel trajet pour aller d'une maison à une autre. Pour simplifier,on suppose que chaque maison est assimilée à un point et que tout habitant est instantanément informé dès qu'un autre habitant entre chez lui.
Déterminer le temps le plus court qui permet au maire de réunir chez lui tous les habitants de la commune.
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Problème proposé par Augustin Genoud
Q1 Sur la première figure n°1, deux joueurs A et B ont dessiné 16 points sur une feuille quadrillée dont chaque carreau élémentaire est de côté 1.Le jeu consiste à relier ces points par des traits de longueur 1 et il est terminé lorsqu’il y a 9 carrés identiques de côté 1. Dans ce jeu, seuls les carrés de côté 1 rapportent des points. Chaque carré vaut 1 point. Ainsi, à la fin du jeu, 9 points sont distribués.
A et B jouent à tour de rôle en traçant un seul trait de longueur 1 sauf si ce trait forme avec les traits déjà effectués un ou plusieurs carrés. Le joueur qui trace un trait qui forme un carré marque 1 point (ou 2 points si le trait donne deux carrés) et doit tracer un autre trait. Si ce nouveau trait forme à nouveau des carrés, le joueur marque autant de points que de nouveaux carrés et poursuit de la même manière avec un nouveau trait.
On suppose que les deux joueurs jouent parfaitement et cherchent à faire un maximum de points.
Sur la figure n°1, douze traits ont été tracés et aucun point n’a été marqué. C’est au tour de A de tracer le treizième trait. Quels sont les scores de A et de B à la fin du jeu?
Q2 Sur la figure n°2, le joueur A vient de marquer un point. C’est à son tour de tracer le quatorzième trait. Quels sont les scores de A et de B à la fin du jeu?
(1)On trouvera une description du jeu à l'adresse: https://fr.wikipedia.org/wiki/La_Pipopipette
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Problèmes ouverts
