Diophante (D) qui est gardien de phare, a sa maison au bord de la mer sur un éperon qui a la forme d'un demi-cercle. Il n'est pas très éloigné de quatre villages A, B, C et E qui sont eux-mêmes en bord de mer avec la disposition suivante :

- les points A et B sont diamétralement opposés à une distance de 3 kilomètres,
-la distance BC est celle d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O circonscrit aux cinq points A, B, C, D et E,
-D est au milieu de l'arc AC,
-les villages C et E sont tels que les droites OC et OE sont perpendiculaires entre elles,
-un phare P où Diophante se rend tous les matins a été construit sur une îlot en pleine mer de telle sorte que le faisceau lumineux du phare est tangent en B et en C à la terre.

Quand il se rend au phare, Diophante prend toujours à pied le chemin rectiligne DNS avec le point N à mi-distance de B et de C et le point d'embarquement S pour le phare à l'intersection de la droite DN et du bord de mer. Au retour, il prend le bateau jusqu'au point T aligné avec P et N puis il termine son trajet en passant par le village C et le point M qui est à mi chemin entre A et C sur la route AEC.

 

Quelle est la distance totale parcourue à pied et en bateau par Diophante pour se rendre au phare et rentrer chez lui selon le trajet qui a la forme d'un chapeau de gendarme DNSPTNCMD ?