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Problèmes par thèmes

D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D176. Le circuit des cinq villages

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D176. Le circuit des cinq villages

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Cinq villages A,B,C,D et E sont reliés entre eux par le réseau routier suivant :

- les villages A,B et C sont alignés ainsi que les villages A,D et E tandis que les routes BE et CD sont perpendiculaires entre elles et se croisent au carrefour O.

- les huit distances AB, BC, AD, DE, OB, OC, OD et OE s'expriment par des nombres entiers de kilomètres tous distincts entre eux.

- le parcours ABO a même kilométrage que le parcours ADO.

- le kilométrage du circuit ABCOEDA est celui d'une petite étape du Tour de France.

Démontrer que les parcours ABCO et ADEO ont même kilométrage et trouver les huit distances AB, BC, AD, DE, OB, OC, OD et OE.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin et Fabien Gigante ont résolu le problème.
De leur côté,Philippe Laugerat et Antoine Verroken ont écrit un programme informatique qui leur a permis de déterminer les huit distances entières AB, BC, AD,....
Deux configurations sont possibles avec des kilométrages du circuit ABCOEDA égaux à 132 kms et à 180 kms que l'on peut raisonnablement considérer comme de petites étapes du Tour de France.
A noter enfin que ce problème est une application particulière du théorème de Urquhart présenté comme le "théorème le plus élémentaire de la geométrie euclidienne".On peut se reporter à l'analyse correspondante.

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