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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D1940. La saga orthocentrique (4ème épisode) Imprimer Envoyer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Problème proposé par Dominique Roux
On part d'une hyperbole équilatère (H)de centre I et de trois points fixes A, B, C sur (H). Pour tout point M de (H) on construit les orthocentres A', B', C', des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.
Quel est, lorsque M parcourt (H), le lieu du centre de gravité G' du triangle A'B'C' ?
Quel est, lorsque M parcourt (H) le lieu (S) du centre du cercle circonscrit O' du triangle A'B'C' ?
Montrer que (S) est une courbe de degré 6 ayant 4 points doubles réels ou imaginaires et un centre de symétrie et que (S) est constituée de deux branches, on observera deux cas selon que les 3 points A, B, C, sont ou ne sont pas sur une même branche de (H).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
a) (S) passe par I.
b) (S) est formée de deux branches tangentes avec un contact d'ordre 4.
c) Le centre de gravité G de ABC est sur l'image de (H) par l'homothétie de centre I et de rapport 1/3.
d) Deux des trois points A, B, C, sont symétriques par rapport à I.
A tout triplet A, B, C, de l'hyperbole  on a associé une courbe S(A,B,C), par un procédé que l'on peut appliquer à tous les triplets A',B', C' ci-dessus.
Montrer qu'alors toutes les courbes obtenues sont confondues : S(A,B,C) = S(A',B',C').



Maurice Bauval a résolu le problème.
 
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