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Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2020
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de sept énigmes qui mettent le millésime 2020 à l'honneur.
Ajoutons que pour résoudre certaines d'entre elles l'usage d'un automate est conseillé.
Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2020 respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple, pour obtenir 75 on pourrait écrire 75 = (1 – 2 + 3 ) x 4 + 5 x (6 –7) + 8 x 9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.
Par exemple, avec 75 = 3 + 8 x 9, les seuls chiffres 3,8 et 9 ont été utilisés.
Les puissances de 2 à l’unité près [*** à la main]
Est-il possible d’arranger tous les entiers de 1 à 2020 en 1010 paires distinctes de sorte que la somme de chaque paire est de la forme 2k – 1 avec k entier > 0 ?
Suite autobiographique [*** à la main]
Je suis le numéro 2 d’une liste ordonnée croissante d’entiers tels que pour chacun d’eux le premier chiffre en partant de la gauche indique le nombre de « 0 », le deuxième chiffre suivant indique le nombre de « 1 », le troisième chiffre indique le nombre de « 2 »,etc…..
Qui suis-je ? Quels sont tous mes colistiers ?
Suite audioactive [* à la main]
Soit une suite d’entiers S dont le premier terme est n1. Chaque terme se détermine en annonçant à voix haute les nombres de fois qu’apparaissent les chiffres formant le terme précédent. Par exemple,avec n1 = 117, on a n2 = 2117 (117 contient deux fois « 1 » puis une fois « 7 ») puis n3 = 122117 (2117 contient une fois « 2 », puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »),puis n4 = 11222117 (122117 contient une fois « 1 » puis deux fois « 2 » puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »)...
Sachant que dans chaque terme de la suite n1, n2,…nk, un même chiffre n’apparaît jamais plus de neuf fois d’affilée, déterminer k et n1 dans les deux cas suivants :
nk = 31123119
nk = 1113122112111312211011131221121113122110.
Joute arithmétique [** à la main]
On désigne par g le PGCD (plus grand commun diviseur) et par p le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers strictement positifs a et b. Diophante confie à Zig les trois équations p + g = 2020, p.g = 2020 et p/g = 2020 (avec pour cette troisième équation la contrainte g = 1) puis à Puce la seule équation p – g = 2020.
Il leur demande de les résoudre séparément et de déterminer toutes les paires d’entiers (a,b) qui sont les solutions de chacune de ces équations.
Le score de chacun d’eux est le nombre total de paires d’entiers (a,b) obtenues après la résolution de ses équations. Qui gagne la joute ?
Les tétraphiles et les tétraphobes [**** avec l’aide d’un automate]
Un entier n est appelé « tétraphile » si l’on peut l’exprimer comme la somme de quatre entiers positifs distincts a,b,c,d, a < b < c < d, tels que a divise b, b divise c et c divise d. Sinon c’est un « tétraphobe »
Q₁ Démontrer que 2020 est tétraphile
Q₂ Dénombrer les entiers tétraphobes inférieurs à 2020.
Q₃ Pour les plus courageux : les entiers tétraphobes sont-ils en nombre fini ou infini ?
L’aire AMEN [*** à la main]
Soit un triangle ABC défini pas ses côtés BC = 78 cm, CA = 75 cm et AB = 57 cm. La bissectrice de l’angle en A coupe BC au point D et le cercle circonscrit à ABC au point E. Le point D se projette en M et N sur les droites [AB] et [AC]. Déterminer l’aire du quadrilatère AMEN au cm² le plus proche.
Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.
- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.
- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts
- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.
Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031 |
