Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2015.
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de quatre énigmes d'arithmétique qui logiquement mettent le millésime 2015 à l'honneur.
Si vous avez des difficultés à résoudre certaines énigmes,l'encyclopédie en ligne des nombres entiers ou un automate peuvent vous aider utilement.


1ère énigme
Je suis un entier naturel à 4 chiffres distincts. On me pose debout sur un miroir horizontal et mon reflet a les mêmes chiffres que moi tout en étant plus grand. Nous avons l’un et l’autre trois facteurs premiers distincts et notre somme est un nombre premier. Démontrer que nous formons un couple unique.

2ème énigme
Je suis un entier à moins de 6 chiffres égal au sixième d’un nombre triangulaire (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire) et au quintuple d’un nombre heptagonal (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_heptagonal) tout en étant égal à la différence des cubes de deux entiers naturels positifs.
Qui suis-je ?

3ème énigme
Pour deux entiers naturels positifs m et k, je suis en même temps égal à la différence entre les sommes des diviseurs pairs et impairs de m² et au produit du k-ième  entier naturel impair  et du k-ième   entier naturel impair non premier.
Qui suis-je ? Quelles sont  les valeurs de m et de k ?

4ème énigme
Nous sommes deux entiers sphéniques (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_sphénique) qui ne dépassent pas le billion (10¹²).En représentation binaire, nous devenons des nombres palindromes avec un seul chiffre 0.
Qui sommes nous ?
Question subsidiaire : que peut-on dire des deux entiers qui précédent chacun de nous deux ?

Pour ceux qui découvrent le site, rappelons que chaque mois sont mis en ligne:

- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même.
Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1.
Pour  imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts.

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent  de leur côté de nouveaux problèmes.

Le casse-tête de décembre enregistré dans la rubrique E567-Une suite à 25 temps et non encore résolu a été transféré dans la rubrique des problèmes ouverts
                                            
Pour résoudre le casse-tête de janvier, il vous est suggéré de vous munir tout simplement d'une feuille de papier quadrillé et d'un crayon bleu.

On considère un réseau R de points à coordonnées entières dans un carré de côté n et on colorie en bleu certains des points de R de sorte que tout carré de côté k ,1≤ k ≤ n, dont les sommets sont dans R, contienne au moins un point bleu sur son bord. On désigne par m(n) le nombre minimum de points à colorier pour que cette condition soit satisfaite. Trouver la limite de m(n) / n² quand n tend vers l’infini.
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Les six problèmes proposés le 1er décembre dernier ont trouvé leurs solutions:
- A1853. Deux miniatures bénéluxiennes proposé par Bernard Vignes
- D348. Le berlingot proposé par Dominique Roux
- D492. Empilement minimal proposé par Michel Lafond
- E684. La porte étroite proposé par Patrick Gordon
- G183. Un QCM de probabilités proposé par Jean Moreau de Saint-Martin
- H150. Six noeuds dans un graphe proposé par Yves Foussard

La rubrique de ce mois comporte deux nouveaux problèmes:
 - A2966 La voie de son maître proposé par Michel Lafond
 - D1983 Variations sur un thème connu (4-ième épisode) proposé par Dominique Roux
Un grand merci pour leurs propositions.

La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 250 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge, revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.

Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.