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Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2019.
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de huit énigmes qui mettent le millésime 2019 à l'honneur.
Ajoutons que pour résoudre certaines d'entre elles l'usage d'un automate est conseillé.
Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formulesqui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2019,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.
Passage de témoin [* avec un automate]
Enigme proposée par Pierre Leteurtre
Trouver les 4 entiers a, b, c et d à trois chiffres tels que :
- a + b + c + d = 2018
- ab – cd = 2019
- les chiffres des centaines sont 3, 4, 5 et 6 (dans le désordre)
- la représentation décimale des quatre entiers utilise au moins une fois tous les chiffres de 0 à 9
L'inévitable 2019 [** à la main]
Démontrer que parmi 80 entiers distincts choisis dans la progression arithmétique de raison 13 : 2,15,.,1978,1991 il existe toujours deux d'entre eux dont la somme est égale à 2019.
Après la virgule du quotient [* à la main]
Enigme proposée par Raymond Bloch
On divise le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers consécutifs à trois chiffres de n à n + k en ordre croissant, par le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers consécutifs de n+k à n en ordre décroissant : [n][n+1]........[n+k]/[n+k][n+k-1]...[n]
Déterminer les valeurs du couple (n,k) de sorte que les 4 premiers chiffres après la virgule du quotient soient égaux à 2019.
Un millésime bien enraciné [* à la main]
Déterminer le nombre réel x limite de l'expression :  * quand le nombre de radicaux croit indéfiniment.
Nota: "*" désigne le signe de la multiplication.
Avec une meule de gruyère [** à la main]
On partage une meule de gruyère en 2019 morceaux de poids tous différents. Est-il possible de couper l’un de ces morceaux en deux morceaux M₁ et M₂ et de répartir ensuite les 2020 morceaux en deux paquets P₁ et P₂ de 1010 morceaux chacun, de même poids global avec M₁ dans P₁ et M₂ dans P₂ ?
Transit factoriel [**** à la main]
Démontrer que la fraction 2019/2018 peut s'écrire sous la forme du quotient de produits de factorielles de nombres premiers pas nécessairement distincts.
Le sixième de la séquence [***** à la main et avec l'aide d'un automate]
Enigme proposée par Jean-Louis Legrand
Démontrer que l'entier 172019 — 16 est un nombre premier
Nota: à ce jour,on connaît six entiers N tels que 17N − 16 est un nombre premier,11 étant le plus petit.
Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.
- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.
- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts
- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.
Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031 |
Les six problèmes diffusés le 1er novembre dernier ont trouvé leurs solutions: 
