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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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La Gazette
Bienvenue à 2019 Imprimer Envoyer


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Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2019.

Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de huit énigmes qui mettent le millésime 2019 à l'honneur.

Ajoutons que pour résoudre certaines d'entre elles l'usage d'un automate est conseillé.





Le classique parmi les classiques [* à la main]

Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formulesqui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2019,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.

Passage de témoin [* avec un automate]
Enigme proposée par Pierre Leteurtre
Trouver les 4 entiers a, b, c et d à trois chiffres tels que :
 - a + b + c + d =  2018
 - ab – cd = 2019
 - les chiffres des centaines sont 3, 4, 5 et 6 (dans le désordre)
 - la représentation décimale des quatre entiers utilise au moins une fois tous les chiffres de 0 à 9

L'inévitable 2019 [** à la main]
Démontrer que parmi 80 entiers distincts choisis dans la progression arithmétique de raison 13 : 2,15,.,1978,1991  il existe toujours deux d'entre eux dont la somme est égale à 2019.

Après la virgule du quotient [* à la main]
Enigme proposée par Raymond Bloch
On divise le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers consécutifs à trois chiffres de n à n + k en ordre croissant, par le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers  consécutifs de n+k à n en ordre décroissant : [n][n+1]........[n+k]/[n+k][n+k-1]...[n]
Déterminer les valeurs du couple (n,k) de sorte que les 4 premiers chiffres après la virgule du quotient soient égaux à 2019.

Un millésime bien enraciné [* à la main]
Déterminer le  nombre réel x limite de l'expression : image001*image002 quand le nombre de radicaux croit indéfiniment.
Nota: "*" désigne le signe de la multiplication.

Avec une meule de gruyère [** à la main]
On partage une meule de gruyère en 2019 morceaux de poids tous différents. Est-il possible de  couper l’un de ces morceaux en deux morceaux M₁ et M₂ et de répartir ensuite les 2020 morceaux en deux paquets P₁ et P₂ de 1010 morceaux chacun, de même poids global avec M₁ dans P₁ et M₂ dans P₂ ?

Transit factoriel [**** à la main]
Démontrer que la fraction 2019/2018 peut s'écrire sous la forme du quotient de produits de factorielles de nombres premiers pas nécessairement distincts.

Le sixième de la séquence [***** à la main et avec l'aide d'un automate]
Enigme proposée par Jean-Louis Legrand
Démontrer que l'entier 172019 — 16 est un nombre premier
Nota: à ce jour,on connaît six entiers N tels que 17N − 16 est un nombre premier,11 étant le plus petit.

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale  à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031
 
Casse-tête de janvier 2019 Imprimer Envoyer

diophante009Le casse-tête de décembre enregistré sous la rubrique A4909. Le quadrilatère1234. a été résolu par Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Maurice Bauval,Paul Voyer,Pierre Henri Palmade et Bernard Vignes.

Pour débuter l'année,nous invitons les lecteurs à retrouver la collection de petits soldats de plomb qu'ils avaient sagement rangée au grenier, à défaut à se munir d'une feuille de papier quadrillé et d'un crayon noir, avant de partir... .J152 - A la conquête de l'eldorado

On dispose d'un très grand nombre de petits soldats disposés sur un quadrillage infini dans le demi-plan inférieur délimité par une ligne rouge.
J152



 











Chaque petit soldat peut se déplacer comme au jeu du solitaire en sautant par-dessus un autre petit soldat, horizontalement ou verticalement mais jamais en diagonale. Ce dernier quitte alors le quadrillage.
Par exemple le petit soldat placé en f7 saute par-dessus le petit soldat placé en g7 et s'installe dans la case h7.Le petit soldat en g7 disparait.
L'objectif est d'envoyer un petit soldat le plus haut possible au delà de la ligne rouge afin de récupérer un trésor.Quelle hauteur maximale (en nombre de rangées) peut-il atteindre?

D4901 ‒ Pavages d'hexagones [*** à la main]
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre : 1,2,3,4,5,6.
Q₁ Démontrer que l'entier n est toujours impair.
Q₂ Déterminer les valeurs extrêmes de n et représenter les pavages correspondants.
Pour les plus courageux:
Q₃ Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q₄ Déterminer tous les pavages possibles non superposables deux à deux.
 
Le coin des lecteurs Imprimer Envoyer

diophantiLes six problèmes diffusés le 1er novembre dernier ont trouvé leurs solutions:       

 - A2997. Du récurrent à l'explicite proposé par David Draï et Michel Lafond
 - D2901. La toile d'araignée (2ème épisode) proposé par Pierre Leteurte
 - E553. Les vilains menteurs proposé par Raymond Bloch
 - E588. Le chapardeur proposé par Augustin Genoud
 - G1900. Le jeu du téléphone proposé par Jean Moreau de Saint Martin
 - G2941. Lots de cerceaux proposé par Pierre Jullien


La rubrique de ce mois comporte six nouveaux problèmes:  
 - A2800. Moyennes et triangle proposé par Pierre Renfer
 - D2902. La toile d'araignée (3ème épisode) proposé par Pierre Leteurtre
 - D4913; Des milliers de morceaux proposé par Raymond Bloch
 - D658. Le calisson et l'heptagone proposé par Pierre Jullien
 - G171. Retour à l'équilibre proposé par Michel Lafond
 - G1901. Presque comme à pile ou face proposé par David DraÏ

  Un grand merci pour leurs propositions.

 
La collection de Diophante s'est enrichie. Imprimer Envoyer

diophante007 
La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 300 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge, revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.
Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.
Derniers problèmes en date :
A20322. Deux séries
A50009. Composition répétitive
A50473. Suite à sommer
D10513. Euler à angle droit
D20498. Circonscription
D30578. Deux sphères
D40342. Territoire à occuper
G10552. Points bonus
G20364. Abondance de points ne nuit pas

 

Problèmes non-résolus

Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse...

Problèmes ouverts de janvier 2019

Les problèmes E6900. Une nouvelle gouvernance proposé par Jean-Louis Legrand et J113-Savant remplissage ont été résolus.

La rubrique comporte deux problèmes.

.A1702. Mystérieuses équations
.D188. Euler et Fermat font la ronde

Bonnes recherches !

Allez à la rubrique...

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