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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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La Gazette
Bienvenue à 2021 Imprimer Envoyer

année 2021Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour une année 2021 plus sereine que la très particulière,pour ne pas dire exécrable, année 2020.

Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2021 à l'honneur.



A1742 – Mise en bouche [* et ***]
A- Le classique parmi les classiques [*]

Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2021,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.
B- Les premiers cousins [***]
Trouver tous les couples de nombres premiers cousins de la forme (p, p + 4), l’un et l’autre inférieurs à 2021, dont le produit est égal à l’entier obtenu par concaténation de deux entiers consécutifs.

E141 – Les suites du millésime [**]
Q1  On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2  Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ?
Nota : les deux questions sont indépendantes.

F171 – Nombres croisés [**]
1ère grille :
F171a
Les sept entiers 1022, 1122, 1212, 1221, 2101, 2102 et  2212 sont placés dans la grille carrée ci-contre 4 x 4.

Déterminer le 8ième entier.
             

   


2ème grille
:

  FF171b
Les entiers p et q étant  distincts, remplir la grille ci-contre à l’aide des définitions suivantes :
Horizontalement              Verticalement
1 :  p*q                                a : (p + 1)*(q + 1)
2 : multiple de q                  b(1) : multiple de q
3 : (q – 1)2                          c : multiple de p2 – q2
4 : p2                                   d : q2
(1) Nota : l’entier de la colonne b est à 3 chiffres et occupe les cases b2,b3 et b4


C253 –  Multiplications codées [**]
Compléter ces deux multiplications de deux entiers à 3 chiffres.
                         1ère multiplication                                                 2ème multiplication
                   C253a                                          C253b
Nota : chaque ligne contient au moins un chiffre distinct de 0.

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale  à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031
 
Casse-tête de janvier 2021 Imprimer Envoyer

diophante009Le casse-tête de décembre 2020 enregistré sous la rubrique E6910 a été résolu par Maurice Bauval,Raymond Bloch, Dominique Chesneau, Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau,Fabien Gigante,Pierre Jullien,Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin et  Pierre Henri Palmade.

Le casse-tête de janvier 2021 enregistré sous la rubrique E5901-Quatorze premiers permet d'aborder l'année en douceur.

Il s'agit tout simplement de placer tous les entiers de 1 à 14 le long de la circonférence d’un cercle de sorte que la somme et la différence (positive) de deux nombres adjacents quelconques soient l’une et l’autre des nombres premiers.

D4901 ‒ Pavages d'hexagones [*** à la main]
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre : 1,2,3,4,5,6.
Q₁ Démontrer que l'entier n est toujours impair.
Q₂ Déterminer les valeurs extrêmes de n et représenter les pavages correspondants.
Pour les plus courageux:
Q₃ Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q₄ Déterminer tous les pavages possibles non superposables deux à deux.
 
Le coin des lecteurs Imprimer Envoyer

diophantiCinq des six problèmes diffusés le 1er décembre dernier ont trouvé leurs solutions:                              .                                                                             
        
- A1731. Accords parfaits proposé par Michel Lafond
         - A2842. Une suite double proposé par Pierre Renfer
         - A5907. Perles rares proposé par Jean Moreau de Saint Martin
         - D659. Des lignes brisées fermées proposé par Bernard Vignes
         - G1913. L'amour menteur à demi proposé par Elie Stinès


La rubrique de ce mois contient sept problèmes dont six nouveaux:
          - A2838. Points communs proposé par Michel Lafond
          - A2841. Escapade matricielle proposé par Bernard Vignes
          - D1893. Deux cercles tritangents proposé par Pierre Leteurtre
          - D4920. Couper la pizza proposé par Jean Nicot
          - E5902. Les cyclistes proposé par Augustin Genoud
          - G1915. Deux quadrillages posés l'un sur l'autre proposé par Dominique Chesneau
          - J159. L'échiquier nouveau proposé par Raymond Bloch

Un grand merci pour leurs propositions.


 
La collection de Diophante s'est enrichie. Imprimer Envoyer

diophante007 
La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 400 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge, revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.
Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.
Derniers problèmes en date :
A10588. Quatre samedis chaque mois.
A30565. Pas premier.
A40467. Progression à neuf.
A50501. Triplet parfait.
A50602. Puissance permutée.
D10500. D'une égalité l'autre.
D10617. Deux isocèles.
D10653. Diamètre tournant.
G10614. Archipel volcanique.

 

Problèmes non-résolus

Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse...

Problèmes ouverts de janvier 2021


La rubrique contient le problème B144. A la poursuite de la bimagie proposé par Jacques Boudier ainsi que le  problème A4924-Entrelacements

Allez à la rubrique...

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