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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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La Gazette
Bienvenue à 2020 Imprimer Envoyer

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Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2020


Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de sept énigmes qui mettent le millésime 2020 à l'honneur.

Ajoutons que pour résoudre certaines d'entre elles l'usage d'un automate est conseillé.



Le classique parmi les classiques [* à la main]

Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2020 respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple, pour obtenir 75 on pourrait écrire 75 = (1 – 2 + 3 ) x 4 + 5 x (6 –7) + 8 x 9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.
Par exemple, avec 75 = 3 + 8 x 9, les seuls chiffres 3,8 et 9 ont été utilisés.

Les puissances de 2 à l’unité près [*** à la main]
Est-il possible d’arranger tous les entiers de 1 à 2020 en 1010 paires distinctes de sorte que la somme de chaque paire est de la forme 2k – 1 avec k entier > 0 ?

Suite autobiographique [*** à la main]
Je suis le numéro 2 d’une liste ordonnée croissante d’entiers tels que pour chacun d’eux le premier chiffre en partant de la gauche indique le nombre de
« 0 », le deuxième chiffre suivant indique le nombre de « 1 », le troisième chiffre indique  le nombre de « 2 »,etc…..
Qui suis-je ? Quels sont tous mes colistiers ?

Suite audioactive [* à la main]
Soit une suite d’entiers S dont le premier terme est n1. Chaque terme se détermine en annonçant à voix haute les nombres de fois qu’apparaissent les chiffres formant le terme précédent. Par exemple,avec n1 = 117, on a n2 = 2117 (117 contient deux  fois « 1 » puis une fois « 7 ») puis n3 = 122117 (2117 contient une fois « 2 », puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »),puis n4 = 11222117 (122117 contient une fois
« 1 » puis deux fois « 2 » puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »)...
Sachant que dans chaque terme de la suite n1, n2,…nk, un même chiffre n’apparaît jamais plus de neuf fois d’affilée, déterminer k et n1 dans les deux cas suivants :
nk = 31123119
nk = 1113122112111312211011131221121113122110.

Joute arithmétique [** à la main]
On désigne par g le PGCD (plus grand commun diviseur) et par p le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers strictement positifs a et b. Diophante confie à Zig les trois équations p + g = 2020, p.g = 2020 et p/g = 2020 (avec pour cette troisième équation la contrainte g = 1) puis à Puce la seule équation p – g = 2020.
Il leur demande de les résoudre séparément et de déterminer toutes les paires d’entiers (a,b) qui sont les solutions de chacune de ces équations.
Le score de chacun d’eux est le nombre total de paires d’entiers (a,b) obtenues après la résolution de ses équations. Qui gagne la joute ?

Les tétraphiles  et les tétraphobes [**** avec l’aide d’un automate]
Un entier n est appelé « tétraphile » si l’on peut l’exprimer comme la somme de quatre entiers positifs distincts a,b,c,d, a < b < c < d, tels que a divise b, b divise c et c divise d. Sinon c’est un « tétraphobe »
Q₁ Démontrer que 2020 est tétraphile
Q₂ Dénombrer les  entiers tétraphobes inférieurs à 2020.
Q₃ Pour les plus courageux : les entiers tétraphobes sont-ils en nombre fini ou infini ?

L’aire AMEN [*** à la main]
Soit un triangle ABC  défini pas ses côtés BC = 78 cm, CA = 75 cm et AB = 57 cm. La bissectrice de l’angle en A coupe BC au point D et le cercle circonscrit à ABC au point E. Le point D se projette en M et N sur les droites [AB] et [AC]. Déterminer l’aire du quadrilatère AMEN au cm² le plus proche.

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale  à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031
 
Casse-tête de janvier 2020 Imprimer Envoyer

diophante009Le casse-tête de décembre enregistré sous la rubrique D4917-Dissections en 5 et 7 morceauxa été résolu par Maurice Bauval, Michel Boulant, Dominique Chesneau, Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau, Pierre Jullien, Michel Lafond, Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin, Jean Nicot, Pierre Henri Palmade, Marie-Christine Piquet et Paul Voyer

Le casse-tête de janvier enregistré sous la rubrique D4918- Les pentagones de Donald nécessite à nouveau une paire de ciseaux avec une feuille de papier ordinaire sur laquelle ont été tracés quatre pentagones réguliers de même côté égal à 5 centimètres. Chacun d’eux peut être découpé en quatre morceaux au maximum, les découpes des pentagones n’étant pas nécessairement les mêmes.
A partir de ces quatre pentagones ainsi découpés, reconstituer :
Q1  un seul pentagone régulier dont on donnera la dimension du côté,
Q2 trois pentagones réguliers de dimensions différentes et de côtés ≠ 5 centimètres.
Q3 un trapèze isocèle dont le rapport B/b de la grande base B à la petite base b est le plus petit possible
Q4 un parallélogramme dont le rapport b/a du plus grand côté b au plus petit côté a est le plus grand possible.
Pour les plus courageux : dans chacun de ces quatre cas, rechercher le minimum de morceaux nécessaires à la reconstitution des polygones.
Source :Selected papers on fun and games de Donald Knuth.


D4901 ‒ Pavages d'hexagones [*** à la main]
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre : 1,2,3,4,5,6.
Q₁ Démontrer que l'entier n est toujours impair.
Q₂ Déterminer les valeurs extrêmes de n et représenter les pavages correspondants.
Pour les plus courageux:
Q₃ Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q₄ Déterminer tous les pavages possibles non superposables deux à deux.
 
Le coin des lecteurs Imprimer Envoyer

  diophantiLes six problèmes diffusés le 1er décembre dernier ont trouvé leurs solutions:                .                    
     
- A1705. Les jongleries des quadruplets proposé par Patrick Gordon
       - A2816. A la recherche des vingt premières décimales proposé par Bernard Vignes
       - A2824. Le prix du billet proposé par Michel Lafond
       - A381. Les amplificateurs proposé par Raymond Bloch
       - D1880. Directions à respecter (1ère partie) proposé par Pierre Leteurtre
       - J128. La méga-rafle de la dame proposé par Stéphane Rézel

  
La rubrique de ce mois comporte six nouveaux problèmes:
       - A1708. Trois fractions égyptiennes pour un premier propoé par Michel Boulant
       - D1882. Directions à respecter (2ème partie) proposé par Pierre Leteurtre
       - D2913 Trois axes de symétrie proposé par Michel Lafond
       - D367 Monge en son tétraèdre proposé pae Pierre Renfer
       - E6909. Le robot-puce proposé par Dominique Chesneau
       - J155. Comment changer les + en - proposé par Raymond Bloch
     

 
 
Un grand merci pour leurs propositions.

 
La collection de Diophante s'est enrichie. Imprimer Envoyer

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La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 400 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge, revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.
Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.
Derniers problèmes en date :
A10363. Absolu minimal
A20248. Points entiers à trouver
A20325. Série base zéro
A20440. De troncatures en entiers
C10450. Gare à l'intempérance
D10526. Triple cosinus
D10587. Trois distances
D20393. Enveloppe à découvrir
D20499. Question d'aire
D20615. Carrés inscrits
E60405. Carrés bleus, disque blanc

 

Problèmes non-résolus

Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse...

Problèmes ouverts de janvier 2020

Le problème - A1711. Une vraie chinoiserie a trouvé sa solution

La rubrique comporte deux problèmes
.A1722. Deux suites miroirs
.A4926. Projets pharaoniques

Bonnes recherches !

Allez à la rubrique...

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