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Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1729. Porisme à trois ronds fixes
Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1729. Porisme à trois ronds fixes
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| D1729. Porisme à trois ronds fixes |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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Problème proposé par Pierre Leteurtre
Des prix fixes par les temps qui courent ? Eh non, hélas. Il s'agit d'une variation sur le porisme*** bien connu des triangles qui ont un même cercle circonscrit et un même cercle inscrit. Pourquoi trois ronds fixes ? Parce que le cercle inscrit γ est le même pour tous les triangles ABC et que les cercles circonscrits Γ sont tangents aux deux cercles fixes C1 et C2, où C2 est à l'intérieur de C1 (il y a une infinité de triangles pour chaque cercle Γ, qui sont eux-mêmes en nombre infini). Pour réaliser la figure, on se place dans le cas particulier de symétrie autour de la droite des centres Δ. Créer le cercle γ et la tangente en H perpendiculaire à Δ. Choisir C et C' sur Δ qui définissent les 2 triangles ABC et A'B'C', et les cercles circonscrits Γ et Γ' (D et D' sont les 2èmes intersections avec Δ). C1 a pour diamètre DC', et C2 a D'C. Déterminer T, centre d'homothétie positive de C1 et C2. Constater que, quel que soit le cercle Γ* tangent à C1 et C2, on peut construire un triangle abc inscrit dans Γ* et circonscrit à γ à partir de n'importe quel point de Γ*.  Q1 Justifier la construction. Q2 Montrer que les trois cercles fixes sont homothétiques de centre T, et que ce point a même puissance par rapport à tous les cercles Γ. Lieu du centre de Γ quand le point de contact avec C1 décrit ce cercle. Q3 Montrer que le pôle par rapport à Γ de la droite qui joint les points de contact de Γ avec C1 et C2 est situé sur une droite fixe équidistante des polaires de T par rapport à C1 et à C2. *** Définition de Littré : un porisme est une question dont la solution consiste à tirer une vérité géométrique des conditions assignées par l'énoncé. Le mot est employé par synecdoque pour représenter la situation définie par le grand théorème de Poncelet :s'il existe un polygone à n côtés inscrit dans une conique et circonscrit à une autre conique, il en existe une infinité. |
