Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes non résolus Nombres remarquables
La série Imprimer Envoyer

La série

Il est bien connu que :

  • la série harmonique pour n variant de 1 à l'infini est divergente,
  • la série dite d'Euler vaut /6
  • la série vaut /90

Il n'existe pas de formule équivalente donnant . Pouvez-vous la trouver ? On sait, mais seulement depuis 1978 (Roger Apéry), que c'est un irrationnel.

 
Les nombres aimables Imprimer Envoyer

Les membres d'un couple de nombres entiers (a,b) sont qualifiés de nombres « aimables » si la somme des diviseurs de a (a exclu mais 1 compris) est égale à b et si la somme des diviseurs de b (b exclu mais 1 compris) est égale à a. L'exemple des valeurs les plus petites est constitué par le couple (220,284) qui a été signalé il y a fort longtemps par Platon. On connaît un très grand nombre de tels couples numériques. Une formule générale avec laquelle ces nombres sont susceptibles d'être calculés, a été découverte aux environs des années 850 par Thabit ibn Qurra (826-901).

Si p = , q = et r = où n >1 est entier, p,q et r sont des nombres premiers, alors .pq et .r constituent une paire de nombres « aimables ». Grâce à cette formule, on obtient la paire (220,284) déjà mentionnée, puis (17296,18416) et (9363584, 9437056) mais la paire (6232, 6368) n'est pas donnée par cette formule?

Existe-t-il une infinité de nombres aimables ?

 
Pi + e est-il irrationnel ? Imprimer Envoyer

Il est bien connu que et e sont l'un et l'autre deux nombre transcendants et de ce fait sont irrationnels, c.a d. qu'ils ne s'expriment pas sous la forme du rapport de deux nombres entiers. Que peut-on dire de leur somme +e ? Est-elle rationnelle ou irrationnelle ? On penche évidemment pour une somme irrationnelle mais la démonstration reste à faire?.

La question se pose aussi pour la distinction entre irrationnel algébrique et nombre transcendant : voir le problème A20118

 
L'algorithme à palindrome et 196 Imprimer Envoyer

On considère un nombre entier quelconque à deux chiffres ou plus et on ajoute à ce nombre le nombre obtenu en inversant l'ordre des chiffres. On répète l'opération avec la somme ainsi obtenue jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre palindrome dont l'écriture de gauche à droite est la même que de droite à gauche.

Exemple : 167 donne 88555588 en 10 itérations :

167 + 761 = 928  928 + 829 = 1757  1757 + 7571 = 9328 9328 + 8239 = 17567 17567 + 76571 = 94138 94138 + 83149 = 177287 177287 + 782771 = 960058 960058 + 850069 = 1810127  1810127 + 7210181 = 9020308  9020308 + 8030209 = 17050517  17050517 + 71505071 = 88555588 qui est bien un nombre palindrome.

Après 9 480 000 itérations, 196 est toujours réfractaire pour donner un nombre palindrome. Est-ce vrai pour une infinité d'itérations ?

 
Les carrés composés de deux chiffres Imprimer Envoyer

Existe-t-il une infinité de carrés parfaits qui s'expriment avec seulement deux chiffres comme ?

Attention : les deux chiffres doivent être différents de 0***.

 
Les nombres parfaits Imprimer Envoyer

Un nombre parfait est égal à la somme de ses propres diviseurs, le nombre lui-même étant évidemment exclu. Par exemple 6 = 1+2+3 et 28 = 1+2+4+7+14 sont des nombres parfaits.

Les nombres parfaits pairs sont de la forme 2p-1(2p-1) avec la condition que p et le nombre de Mersenne 2p-1 sont des nombres premiers.

En janvier 2016, 49 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 274 207 281-1. Sa représentation décimale comporte 22 338 618 chiffres. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »)
Pour plus de détails se reporter à :http://www.mersenne.org/prime.htm et http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne

Aucun nombre parfait impair n'est connu à ce jour. En existe-t-il ? S'il existe, il est somme de deux carrés (problème A10254). Mais on a prouvé qu'il a plus de 150 chiffres !

 

 

 


RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional