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Plus de 1000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

 

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D164. Un bel alignement de points Imprimer Envoyer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Problème proposé par Pierre Gineste.

On considère trois cercles tangents deux à deux de centres A, B et C. Les points de tangence des cercles pris deux à deux sont respectivement P sur BC, Q sur CA et R sur AB.

Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC . On trace les deux cercles tritangents aux trois cercles, le plus petit ayant pour centre J et le plus grand qui englobe les trois autres ayant pour centre K.

Démontrer que les droites AP, BQ et CR se coupent en un même point L et que les quatre points I, J, K et L sont alignés.


Solution

 Catherine Nadault et Jean Moreau de Saint Martin ont résolu le problème ainsi que Pierre Henri Palmade  qui donne une solution fondée sur les propriétés des cercles de Soddy décrites sur le site d'Eric Weisstein: http://mathworld.wolfram.com/SoddyCenters.html

Catherine Nadault fait remarquer que les points I,J,K,L du problème sont identifiés dans l'impressionnante encyclopédie des points remarquables du triangle établie par Clark Kimberling : http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

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