Problème proposé par Dominique Roux à partir d’un énoncé de la compétition australo-britannique « The 2013 Mathematical ashes »

On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la droite OD un point mobile P.
La perpendiculaire en P à la droite OD coupe les droites BC , CA , AB en respectivement A' , B' , C'.
BC recoupe le cercle (PAA') en A''. On construit de façon analogue B'' et C''.Les droites AA'', BB'', CC'' ont un point commun E.
Le point Q a été défini dans l'énoncé D1974 comme second point d’intersection des cercles (PAA'), (PBB'), (PCC').

1) Quel est le lieu du point E lorsque P décrit la droite OD ?
2) On complète la figure en traçant le cercle (PBC), il recoupe la perpendiculaire en P à la droite OD en un point a , puis ce cercle est recoupé par la droite aA en a'. On construit de façon analogue des points b,b', c,c'. Montrer que les cercles (PAa') , (PBb') , (PCc') se coupent en E.
3) Montrer que les droites aA , bB , cC ont un point commun appelé R et que les points P , Q , R sont alignés.

Solution

Solutions de Dominique Roux et deMaurice Bauval