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Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1881. A votre convenance
Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1881. A votre convenance
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| D1881. A votre convenance |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ1) et B sur (Γ2 ). La parallèle à la droite [AB] passant par M rencontre (Γ1) en un deuxième point C et (Γ2) en un deuxième point D. Les droites [AC] et [BD] se rencontrent au point E tandis que la droite [CD] rencontre la droite [AN] au point P et la droite [BN] au point Q.
Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des propriétés suivantes : P1 : EP = EQ P2 : CD = 2AB. P3 : La droite [EN] est bissectrice de l’angle  CND.P4 : Les points A,B,E et N sont cocycliques P5 : Les triangles NCE et NED sont semblables P6 : La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED. Nota : une seule de ces propriétés a fait l’objet d’un problème lors d’une récente olympiade internationale de mathématiques.  Michel Rome,Catherine Nadault,Thérèse Eveilleau,Pierre Renfer,Maurice Bauval,Pierre Leteurtre,Paul Voyer et Jean Nicot ont résolu le problème. |
