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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Les nombres de Fibonacci premiers Imprimer Envoyer

Les nombres de Fibonacci sont définis dans la séquence bien connue 1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, 55, 89, 144,...dans laquelle chaque terme (hormis les deux premiers) est égal à la somme des deux termes précédents. Parmi eux, 2,3,5,13,89,..sont des nombres premiers et les nombres dont le rang supérieur à 4 n'est pas premier (6, 8, 10, 12, 14, 15, etc.) ne peuvent pas être premiers.

Existe-t-il une infinitĂ© de nombres de la sĂ©quence de Fibonacci qui sont en mĂŞme temps premiers  

 
Les nombres de la forme n^n +1 sont-ils premiers ? Imprimer Envoyer

Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nn+1 donne des nombres premiers. En effet 1 + 1 = 2, 22+1 = 5 et 44+1 = 257 sont bien des nombres premiers. En existe-t-il d'autres ? 

Commentaire de Jean Moreau de Saint Martin:

Pour que nn  +  1 soit premier avec n>1, n doit ĂŞtre une puissance de 2 : s'il avait un diviseur impair i (n=id), nn  +  1 admettrait le diviseur nd  +   1.
Ainsi les nombres premiers de cette forme sont un sous-ensemble des nombres premiers de la forme N2  + 1 : si n = 2k, N = 2^(k.2^(k-1)).
En outre, comme nn  + 1=2^(k.(2^k))  + 1, le mĂŞme argument montre que k ne doit pas avoir de diviseur impair. Il faut k=2^m.
Finalement, nn  + 1 = 2^(2^(m + 2^m))  + 1, c'est un nombre premier de Fermat, 2^(2^f) + 1 avec f = m + 2m.
Pour m = 0, 1, 2, etc., n=2, 4, 16, etc., f = 1, 3, 6, etc. et seuls les deux premiers (5 et 257) sont des nombres premiers.
On peut donc rĂ©pondre partiellement Ă  la question posĂ©e : s'il existe d'autres nombres premiers nn +  1, c'est qu'il existe des nombres de Fermat premiers plus grands que F4 =65537. Cela semble peu probable.

 
Les nombres premiers dans l'intervalle [n^k, (n+1)^k] Imprimer Envoyer
  • k=2

Le mathématicien français A. Legendre (1752-1833) a conjecturé que quel que soit l'entier n, il existe toujours au moins un nombre premier compris entre n2 et (n+1)2. Est-ce vrai ?

  • k>2

Jean Moreau de Saint Martin fait remarquer : "avec l'exposant 3 au lieu de 2, Ingham a démontré en 1932 que pour n assez grand, il existe toujours au moins un nombre premier compris entre n3 et (n+1)3. Par ailleurs les connaissances actuelles sur les nombres premiers valident la conjecture pour des exposants supérieurs au nombre rationnel 2,16." 
 
Les nombres premiers de la forme n^2 + 1 Imprimer Envoyer

La liste des nombres premiers de la forme n2+1 commence par 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401,.. qui correspond Ă  n = 1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20,.....

Existe-t-il une infinitĂ© de nombres premiers de cette forme ?

Il est facile de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme n2+m2 ; c'est déjà beaucoup plus difficile pour l'ensemble (plus restreint) des nombres premiers de la forme n2+m4 (théorème de Friedlander-Iwaniec). On est encore loin d'une réponse pour les nombres premiers de la forme n2+1, sous-ensemble des précédents.

 

 
Les nombres premiers jumeaux Imprimer Envoyer

 

Deux nombres impairs consĂ©cutifs tous deux premiers sont appelĂ©s « jumeaux Â». Par exemple 3 et 5, 41 et 43, 1000 000 000 061 et 1000 000 000 063.
Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribuĂ©, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont dĂ©couvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-Ă -dire en janvier 2007). Le dĂ©couvreur est le français Éric Vautier[1].Le couple record est 2003663613 Ă— 2195000±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en Ă©criture dĂ©cimale.

Existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux·?

 


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