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D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D172. Trois bissectrices qui se rencontrent pour un joli problème

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D172. Trois bissectrices qui se rencontrent pour un joli problème

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Dans un repère Oxy, on trace deux cercles de centres O et O' et de rayons R<R' tangents extérieurement en un point T. D'un point A extérieur aux deux cercles et du côté des x négatifs, on mène deux droites D et D' tangentes au cercle de centre O qui coupent le cercle de centre O' en quatre points dont on retient les points B et C les plus éloignés de A.

Démontrer que les bissectrices des angles BTC, ABC et ACB sont concourantes.

Source : Dominique ROUX (bulletin Géométrie APMEP)

Solution

Notons tout d'abord que ce problème a été conçu par le mathématicien russe Vladimir Protassov et a été publié en 1994 dans le volume II « Géométrie » de la publication de l'APMEP « Les 200 premiers problèmes de l'APMEP » réunis par Dominique Roux. Les références de ce volume sont accessibles à l'adresse suivante : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAP97051.htm.Dans cet ouvrage, Dominique Roux donne une solution basée sur la construction d'une courbe du troisième degré(strophoïde).
La réponse de Jean Moreau de Saint Martin est fondée sur l'analyse de cette même courbe.
Catherine Nadault donne une autre solution qui fait appel à des fonctions rationnelles du second degré. A cette occasion elle mentionne d'autres approches possibles pour la résolution du problème.

- Il y a d'abord la solution de Jean-Louis Aymé accessible à l'adresse : http://pagesperso-orange.fr/jl.ayme/Docs/Un remarquable resultat de Vladimir Protassov.pdf.Cette solution repose uniquement sur des théorèmes classiques de la géométrie du cercle et du triangle et comporte plusieurs prolongements possibles de la configuration imaginée par V. Protassov. Nous en donnons ci-après un résumé.

- On obtient ensuite un rappel du problème et des solutions synthétiques aux adresses suivantes: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1399786#1399786 et
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=41667

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