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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D1873. To be or not to be (1er épisode)

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D1873. To be or not to be (1er épisode)

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?

Solution

C'est la première fois qu'un problème de géométrie rencontre un tel succès auprès de nos lecteurs avec 24 réponses:

Saturnino Campo Ruiz,

Thérèse Eveilleau,

Catherine Nadault,

Jean Moreau de Saint Martin,

Jean-Louis Legrand,

Fabien Gigante,

Michel Goudard,

Pierre Henri Palmade,

Darias Abdelali,Yannick Huet et Elie Stiinès ont prouvé qu'il n'existe pas de triangle ABC satisfaisant les conditions de l'énoncé.
On peut noter que le triangle devient constructible dès qu'on modifie légèrement le périmètre p en laissant le rayon R du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit inchangés.
Ainsi avec p 134,2 cm, R = 27 cm et r = 12, l'inégalité de Blundon qui est une CNS de l'existence du triangle ABC est satisfaite:
2R² + 10Rr – r²– 2(R – 2r)√(R²–2Rr) ≤ p²/4 ≤ 2R² + 10Rr – r²+ 2(R – 2r)√(R²–2Rr)
soit 18000 < 134.2² = 18009.64 < 18432

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