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Problèmes par thèmes

D. Géométrie

D1. Géométrie plane : triangles et cercles

D162. Un prix de beauté dans un triangle acutangle

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D162. Un prix de beauté dans un triangle acutangle

D1.Géométrie plane : triangles et cercles

Soit ABC un triangle acutangle dont l'angle au sommet C est le plus petit des trois angles. Soient O et I les centres des cercles circonscrit et inscrit. Sur AC et BC, on porte respectivement les points P et Q tels que AP = BQ = AB.

1^ère partie : Démontrer que les droites IO et PQ sont perpendiculaires.

2^ème partie : L'angle en C vaut 30°. Démontrer que IO = PQ et que O est l'orthocentre du triangle IPQ.

Solution

Sans aucun doute, ce prix de beauté a séduit plus d'un lecteur.Les réponses se caractérisent par la variété des méthodes retenues et leur nombre excède la moyenne habituelle observée dans la rubrique "géométrie". On lira avec intérêt les solutions de Catherine Nadault,Jean Moreau de Saint Martin,Philippe Bertran,Patrick Gordon,Jean Nicot,Maurice Bauval,Claude Felloneau,Pierre Henri Palmade et Pierre Gineste.
Rappelons pour la petite histoire que ce problème a déjà fait le tour du monde: l'auteur est le néerlandais D.J. Smeenk qui l'a soumis à la revue canadienne Crux Mathematicorum en 1987.Le mathématicien japonais Hidetosi Fukagawa, l'auteur du célèbre ouvrage sur les sangakus "Japanese Temple Geometry Problems" ,en a donné une solution géométrique (voir D162-solution HF en version française) reprise par Ross Honsberger, l'auteur américain de nombreux ouvrages mathématiques, dans son livre "From Erdös to Kiev". Enfin, Alexander Bogomolny lui consacre une rubrique dans son site Cut-the-knot à l'adresse:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/InAndCircumcenterC.shtml

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