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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D1971. Dans le petit soulier de Diophante Imprimer Envoyer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

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Problème proposé par Dominique Roux (à la veille de Noël 2013)

On donne un triangle ABC. Pour tout point M autre que A, B, C on trace les cercles (MBC) , (MCA) , (MAB). Ils recoupent les côtés du triangle en respectivement Ab et Ac ; Bc et Ba ; Ca et Cb. Pour certains points M les trois droites (AbAc) , (BcBa) , (CaCb) ont un point commun que l'on notera N. Que peut-on dire de l'ensemble des points N ?


pdfJean Moreau de Saint Martin et pdfDominique Roux ont résolu le poblème en démontrant que le lieu de N est une hyperbole dont le centre est le point de Lemoine du triangle ABC.
Dominique Roux nous a fait part de deux remarques:
1) Cette hyperbole qui est attachée de façon intrinsèque au triangle ABC a deux particularités.Ce n'est pas une hyperbole équilatère, contrairement aux hyperboles classiques du triangle (Feuerbach, Jerabek, Kiepert, Stammler,...).De plus,elle ne passe ni par des points remarquables du triangle (en général les sommets,l'orthocentre,...) comme les hyperboles précédemment mentionnées ni par l'un des quelque 5000 points remarquables de l'encyclopédie ETC.
2) Les deux solutions de ce problème sont fondées sur les coordonnées barycentriques qui se sont révélées une nouvelle fois être un puissant outil de calcul. Ces coordonnées sont peu familières pour la plupart des amateurs de problèmes de géométrie. L'ouvrage Géométrie analytique classique de Jean-Denis Eiden qui constitue l'une des meilleures références en ce domaine, devrait les convaincre que les coordonnées barycentriques grâce à leur caractère symétrique présentent dans bien des cas une supériorité manifeste sur les coordonnées cartésiennes.
Signalons enfin que de nombreux lecteurs ont eu du mal à tracer les points M et N tels que décrits dans l'énoncé. On comprend leurs difficultés car la figure est impossible avec un triangle ABC acutangle. On lira avec intérêt la pdfnote de commentaires dans laquelle Dominique Roux présente le mode de construction des points M et N avec un triangle ABC obtusangle. Le cercle d'Euler du triangle ABC s'y révèle fort utile....

 
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