Jean Moreau de Saint Martin et Dominique Roux ont résolu le poblème en démontrant que le lieu de N est une hyperbole dont le centre est le point de Lemoine du triangle ABC.
Dominique Roux nous a fait part de deux remarques:
1) Cette hyperbole qui est attachée de façon intrinsèque au triangle ABC a deux particularités.Ce n'est pas une hyperbole équilatère, contrairement aux hyperboles classiques du triangle (Feuerbach, Jerabek, Kiepert, Stammler,...).De plus,elle ne passe ni par des points remarquables du triangle (en général les sommets,l'orthocentre,...) comme les hyperboles précédemment mentionnées ni par l'un des quelque 5000 points remarquables de l'encyclopédie ETC.
2) Les deux solutions de ce problème sont fondées sur les coordonnées barycentriques qui se sont révélées une nouvelle fois être un puissant outil de calcul. Ces coordonnées sont peu familières pour la plupart des amateurs de problèmes de géométrie. L'ouvrage Géométrie analytique classique de Jean-Denis Eiden qui constitue l'une des meilleures références en ce domaine, devrait les convaincre que les coordonnées barycentriques grâce à leur caractère symétrique présentent dans bien des cas une supériorité manifeste sur les coordonnées cartésiennes.
Signalons enfin que de nombreux lecteurs ont eu du mal à tracer les points M et N tels que décrits dans l'énoncé. On comprend leurs difficultés car la figure est impossible avec un triangle ABC acutangle. On lira avec intérêt la note de commentaires dans laquelle Dominique Roux présente le mode de construction des points M et N avec un triangle ABC obtusangle. Le cercle d'Euler du triangle ABC s'y révèle fort utile....