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 Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour une année 2021 plus sereine que la très particulière,pour ne pas dire exécrable, année 2020.
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2021 à l'honneur.
A1742 – Mise en bouche [* et ***]
A- Le classique parmi les classiques [*]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2021,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.
B- Les premiers cousins [***]
Trouver tous les couples de nombres premiers cousins de la forme (p, p + 4), l’un et l’autre inférieurs à 2021, dont le produit est égal à l’entier obtenu par concaténation de deux entiers consécutifs.
E141 – Les suites du millésime [**]
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ?
Nota : les deux questions sont indépendantes.
F171 – Nombres croisés [**]
1ère grille :
Les sept entiers 1022, 1122, 1212, 1221, 2101, 2102 et 2212 sont placés dans la grille carrée ci-contre 4 x 4.
Déterminer le 8ième entier.
2ème grille :
Les entiers p et q étant distincts, remplir la grille ci-contre à l’aide des définitions suivantes :
Horizontalement Verticalement
1 : p*q a : (p + 1)*(q + 1)
2 : multiple de q b(1) : multiple de q
3 : (q – 1)2 c : multiple de p2 – q2
4 : p2 d : q2
(1) Nota : l’entier de la colonne b est à 3 chiffres et occupe les cases b2,b3 et b4
C253 – Multiplications codées [**]
Compléter ces deux multiplications de deux entiers à 3 chiffres.
1ère multiplication 2ème multiplication
 
Nota : chaque ligne contient au moins un chiffre distinct de 0.
Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.
- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.
- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts
- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.
Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031 |
Cinq des six p
