Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil
La Gazette
Bienvenue à 2017 Imprimer Envoyer

image003

Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour la nouvelle année 2017.
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de cinq énigmes d'arithmétique qui logiquement mettent le millésime 2017 à l'honneur.
Si vous avez des difficultés à résoudre certaines énigmes,un automate peut vous aider utilement.

 


1ère énigme

Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules, les plus économiques en nombre de caractères utilisés,qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2017,respectivement à partir :

1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 en utilisant 21 caractères.
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9, on a utilisé les seuls chiffres 2,3,8 et 9 avec 9 caractères au total.
3) des seuls chiffres qui figurent dans 2017, chacun d'eux étant utilisé au moins une fois et autant de fois que nécessaire,
4) d'un seul chiffre choisi dans l'ensemble des chiffres de 1 à 9 et utilisé autant de fois que nécessaire. On retiendra le chiffre qui donne la formule la plus économique.Par exemple, pour obtenir 101 on peut additionner 101 fois le seul chiffre 1 mais cette expression est évidemment très coûteuse avec ses 201 caractères et la formule 101 = 3*3*3*(3 + 3/3) - 3 - 3 - 3/3 écrite avec le chiffre 3 et 21 caractères est plus économique sans être optimale.

2ème énigme (proposée par Pierre Leteurtre)
L'entier N s'écrit 641 en base b et 1201 en base b ‒ 6.
Déterminer respectivement les trois écritures de N en base b ‒ 8, en base b + 12 et en base b + 13.
Quel est l'intruse dans ces cinq écritures?


3ème énigme (proposée par Pierre Leteurtre)

Exprimer le nombre premier 2017 sous la forme de la somme d'un nombre maximum:
1) de nombres premiers distincts p,q,r,s,t,u,....;2017 = p + q + r + s + ...
2) de produits de nombres premiers p,q,r,s,t,.. tous distincts, pris 2 à 2 : 2017 =  pq + rs ou 2017 =  pq + rs + tu ou 2017 =  pq + rs + tu + vw, etc....
3) de produits de nombres premiers p,q,r,s,t,..tous distincts,
pris 3 à 3 :2017 =  pqr + stu,etc..

 
4ème énigme (proposée par Raymond Bloch)
Quels sont les entiers impairs obtenus en divisant par 267 un entier de six chiffres formé par la juxtaposition de deux entiers consécutifs, placés en ordre croissant de gauche à droite ?


5ème énigme (proposée par Raymond Bloch)

Trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est 2017.

 
Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:

- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même.
Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1.
Pour  imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.


- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts.


- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent  de leur côté de nouveaux problèmes.

 

Pb n°1(PL)

L'entier N prend la valeur 641 en base b et la valeur 1201 en base b ‒ 6.

Déterminer respectivement les valeurs de N en base b ‒ 8 et en base b + 12.

Quelle est la caractéristique commune de ces quatre valeurs?

 

Réponse

b = 12

En effet N = 6b² + 4b + 1 = (b ‒ 6)³ + 2(b ‒ 6)² + 1

On pose b' = b ‒ 6

D'où l'équation b'³ + 2b'² + 1 = 6(b' + 6)² + 4(b' + 6) + 1 = 6b'² + 76b' + 241

Ce qui donne b'³ ‒ 4b'² ‒ 76b' ‒ 240 = 0 qui s'écrit (b' ‒ 12).(b'² + 8b' + 20) = 0

L'unique solution est b' = 12. D'où b = 18.

En base 10, N vaut donc 6.18² + 4.18 + 1 = 2017

En base 30, on a N = 2017 = 2.30² + 7.30 + 7. N prend donc la valeur 277

Les quatre entiers 277, 641, 1201 et 2017 ont la caractéristique commune d'être des nombres premiers.

 

Pb n°2 (PL)

Exprimer le nombre premier 2017 sous la forme de la somme d'un nombre maximum:

1) de nombres premiers distincts;

2) de produits de nombres premiers pris 2 à 2 tous distincts:

3) de produits de nombres premiers pris 3 à 3 tous distincts :

 

Réponse

1) 2017 peut s'exprimer sous la forme d'un nombre maximum de 32 NP distincts.

2017 = somme (des 31 NP de 2 à 131 sauf 7)  + 173.

2) pour i = 2 on obtient 2017 = 2*953 + 3*37,

    pour i = 3: 2017 = 5*11 + 17*37 + 31*43 = 5*17 + 11*31 + 37*43 de deux manières avec les mêmes six NP.
    pour i = 4 :2017 = 2*101 + 3*5 + 7*97 + 11*101

    pour i = 5 : 2017 = 5*67 + 7*19 + 11*71 + 13*29 + 17*23

    etc....

   i = 7?

3) 2017 = 2*13*47 + 3*5*53

 

Pb n°3 (RB)

Quels sont les entiers impairs obtenus en divisant par 267 un entier de six chiffres formé par la juxtaposition de deux entiers consécutifs, placés en ordre croissant de gauche à droite ?

Réponse

Nous cherchons un entier impair k tel qu’il existe un entier N de 6 chiffres formé par la juxtaposition de A et (A + 1), A un entier de 3 chiffres, avec : N = 267 k = 1000 A + (A + 1) ou 267 k – 1001 A = 1    (*)      

Cette équation diophantienne admet la solution

A = 4, k = (4 x 1001 + 1) / 267 = 15. Comme 367=3 x 89 et 1001=7 x 11 x 13 sont premier entre eux, toutes les solutions de (*) ont la forme :k = 15 + 1001 m , A = 4 + 267 m , m entier positif ≥ 3, sinon N a plus de 6 chiffres.           

Les valeurs m = 1 et m = 3 donnent respectivement k = 1016 et k = 3018, et resp. N = 271 272 et N = 805 806 , mais les valeurs paires de k sont à rejeter.

L’unique solution est donc obtenue pour m = 2, avec k = 2017 et 2017 x 267 = 538 539.

 

Pb n°4 (RB)

Trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est 2017.

Réponse

Notez que       (10n – 2 )² = 102n – 4.10n  + 4 .

Posons la soustraction :          1 0 0 0 0 0 ..0 0 0 0….  0 0 0 0 4  

                                                                  4 0 0 0…. 0 0 0 0 0

                                               __________________________

                                                  9 9 9 9 9 9..6 0 0 0…. 0 0 0 0 4

Le résultat comporte n-1 chiffres 9 suivis de un 6, de n-1 chiffres 0 et de un 4.

En choisissant n = 224, le nombre ( 10²²⁴  – 2 )² a donc une somme de chiffres égale à : 223 x 9 + 6 + 4 = 2017.

N.B. D’autres carrés parfaits peuvent répondre à cette question.                          

 

 

 
Casse-tête de janvier 2017 Imprimer Envoyer

diophante009Le casse-tête de décembre enregistré sous le libellé E434. Deux parties de billes a été résolu par Jean Moreau de Saint Martin,Paul Voyer, Simon Pellicer et Thérèse Eveilleau,

Ce mois-ci, Dominique Roux
vous invite à résoudre un casse-tête dont le libellé tient en une ligne:


"Trouver le côté du plus grand cube placé à l'intérieur d'un tétraèdre régulier de côté 1."


Dominique Roux vous met en garde : la première solution  que l'on croit avoir trouvée n'est pas nécessairement optimale...



 

 
Le coin des lecteurs Imprimer Envoyer

Coin_des_lecteursTrois des cinq problèmes diffusés le 1er décembre dernier ont trouvé leurs solutions:
      - D1818. Au coin de la rue proposé par Patrick Gordon
      - E575. Colloque à six proposé par Jean Moreau de Saint Martin
      - I126. Chaîne brisée proposé par Jean-Louis Legrand
Les deux autres,G2917. En rang par trois proposé par Yves Foussard et J142. Traversée en solitaire proposé par Michel Lafond, sont transférés,en l'absence de réponses complètes, dans la rubrique des problèmes ouverts.


La rubrique de ce mois comporte trois nouveaux problèmes:
         - A582. Des k-uples spéciaux proposé par Raymond Bloch
         - A628. Les entiers séparables proposé par Michel Lafond
         - E451. Pas de deux (suite et fin) proposé par Jean Moreau de Saint Martin
 
Un grand merci pour leurs propositions.

 
La collection de Diophante s'est enrichie. Imprimer Envoyer

La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 300 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge, revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.

Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.

 

Problèmes non-résolus

Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse...

Problèmes ouverts de janvier 2017

Le problème D499. Les carrés séquençables a été résolu par Fabien Gigante,Jean Nicot et Michel Lafond.

Cette rubrique contient désormais deux problèmes qui figuraient le mois dernier dans la rubrique du Coin des lecteurs:
  -G2917. En rang par trois proposé par Yves Foussard
  -J142. Traversée solitaire proposé par Michel Lafond

Bonnes recherches !

Allez à la rubrique...

RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional