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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1753. Impairs et gagne Imprimer Envoyer

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Zig choisit un entier k ≥ 2 et demande à Puce de trouver le plus petit entier nk de k chiffres,non divisible par 10, qui additionné à l’entier obtenu en inversant l’ordre des chiffres de nk donne un entier dont tous les chiffres sont impairs.
Déterminer les valeurs de k pour lesquelles Puce relève le défi en  trouvant cet entier nk.
Application numérique : déterminer les valeurs de nk (quand elles existent) pour k variant respectivement de 3 à 13.




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A2854. Joutes polynômiales Imprimer Envoyer

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Soient p(x) et q(x) deux polynômes non constants à coefficients réels à partir desquels on détermine les deux polynômes u(x) et v(x) définis par u(x) = p(x) – q(x) et v(x) = p(x) + q(x).
Sp,Sq,Su et Sv désignent respectivement les sommes des racines de p(x),q(x),u(x) et v(x).
Sachant que  Sp= 6, Sq,= 69 et Su = 38, déterminer toutes les valeurs possibles de Sv et pour chacune d’elles démontrer qu’on sait trouver des polynômes p(x) et q(x) du 1er ou du 2ème degré..
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A349. Abondance,abondance Imprimer Envoyer

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Le  ratio d’abondance d’un entier n positif est le rapport, désigné par ρ(n), de la somme des diviseurs de n à l’entier lui-même. Par exemple ρ(8) = (1 + 2 + 4 + 8)/8 = 15/8.
Q1 Prouver qu’un entier n dont le ratio d’abondance est supérieur ou égal à 4 (i.e. ρ(n) ≥ 4 ), a au moins quatre facteurs premiers distincts.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) =  4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n)  = 4
Q2 Prouver qu’il n’existe pas d’entier n qui a cinq facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5.
Déterminer le nombre minimum k₀ de facteurs premiers d’un entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour cette valeur k₀, déterminer le plus petit entier n qui a k₀ facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour les plus courageux : Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) = 5
Q3 Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n)  ≥ 6




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D1709. Un point fixe bien caché Imprimer Envoyer

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Sur la droite qui porte le côté BC d’un triangle acutangle ABC, on trace un point courant D tel que C reste toujours compris entre B et D. Les cercles inscrits des triangles ABD  et ACD se rencontrent en P et Q.  Démontrer que quelle que soit la position de D, la droite PQ passe par un point fixe que l’on construira.




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E5914. En route pour le milliard Imprimer Envoyer

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On écrit sur une même ligne les 63 chiffres suivants :
 e5914

Q1 Prouver qu’on peut insérer entre eux des signes « + », des signes de multiplication « x » et des parenthèses de sorte que l’expression résultante est divisible par un milliard.
Q2 Prouver que quelle que soit la liste de 63 entiers naturels, on parvient toujours à insérer entre eux des « + », des « x » et des ( ) de sorte que l’expression résultante est divisible par un milliard.




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G1926. Divisibilté aléatoire Imprimer Envoyer

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Parmi tous les entiers à neuf chiffres qui contiennent chacun des chiffres de 1 à 9 exactement une fois, on choisit l’un d’eux au hasard*. Calculer sous la forme d’une fraction rationnelle irréductible la probabilité pour qu’il soit divisible par 11.
 *par exemple en tirant une carte dans une urne qui contient toutes les cartes sur lesquelles ces entiers ont été inscrits.




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