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Q₁ Trouver les plus petits entiers positifs divisibles respectivement par 2,3,5,7,11 et 13 et dont les dix derniers chiffres sont distincts. [*].
Q₂ Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’on sait toujours trouver un multiple de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [**]
Q₃ Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’il existe une infinité de multiples de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [***]
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Puce choisit une suite S de n ≥ 2 entiers strictement positifs dont n – 1 au moins sont distincts. Il établit la liste de toutes les sous-suites extraites de S ayant au moins un terme et calcule pour chacune d’elles le produit de ses termes(1). La moyenne arithmétique des produits ainsi obtenus est égale à 49.
Zig choisit un entier k strictement positif et suggère à Puce de recommencer ses calculs en ajoutant k à S. La moyenne arithmétique des produits est alors égale à 193.
Grâce à ces deux moyennes, trouver un moyen de déterminer l’entier k et tous les termes de S.
(1) si la sous-suite contient un seul terme, le produit est égal au terme lui-même.
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Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.
Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n,c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n,un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n)=φ(φ(n)),… …,φ(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.
Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 107.
(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.
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Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre): déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.
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Cent entiers sont écrits sur une ligne et prennent initialement la valeur 0. A chaque tour, il est possible d’en choisir neuf et de retrancher 1 du premier, 2 du second, etc…,8 du huitième et d’ajouter 9 au neuvième. Déterminer le nombre maximum d’entiers qui deviennent positifs à l’issue d’un certain nombre de tours.
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Problèmes du mois
AMC. Que vaut l’angle 
