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 Le 1er janvier dernier, Zig a fabriqué un calendrier circulaire selon la maquette ci-contre. Tous les jours de l’année 2021 sont inscrits dans des cases adjacentes selon l’ordre chronologique et dans chacune d’elles Zig a écrit un nombre premier de sorte que la somme des nombres écrits sur une période glissante de 35 jours est toujours égale à 553 quelle que soit la case de départ.
Dans la case du 30 novembre, Zig a écrit le nombre 29 et les nombres écrits dans les cases des 31 janvier, 31 juillet, 30 septembre, 30 novembre et 31 décembre forment une suite strictement croissante.
Déterminer les nombres écrits par Zig le jour de Pâques (4 avril), le jour de la Pentecôte (23 mai), le 14 juillet, le 15 août, le jour de la Fête des Morts (2 novembre) et le jour de la Saint Nicolas (6 décembre).
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Q1 Trouver au moins deux exemples d’entiers strictement positifs distincts m et n, 0 < m < n < 100, tels que les produits mn et (m + 1).(n + 1) sont des carrés parfaits.
Q2 Démontrer que quel que soit m entier strictement positif fixé à l’avance, on sait toujours trouver un entier n > m tel que les produits mn et (m + 1).(n + 1) sont des carrés parfaits.
Q3 Démontrer qu’on sait trouver au moins une suite strictement croissante d’entiers strictement positifs a₁,a₂,a₃,…an,… telle que pour tout i = 1,2,…n,.. les produits ai.ai+1 et (ai + 1)(ai+1 + 1) sont des carrés parfaits. Exprimer le terme général an en fonction de n.
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On s’intéresse aux triplets d’entiers (p,k,n) qui ont la propriété (P) suivante : le carré de la somme des k premières puissances de p : p0 = 1, p1 = p, p2,….,pk-1 est égal à la somme des n premiers cubes parfaits consécutifs, c'est-à-dire  .
Q1 Démontrer qu’il existe au moins une valeur de p > 1 telle que pour tout k ≥ 3, on sait trouver un entier n vérifiant la propriété (P). Pour cette valeur de p, déterminer toutes les valeurs possibles de n ≤ 2021.
Q2 Démontrer que pour k = 3, il existe une infinité de valeurs de p > 1 telles qu’on sait trouver un entier n vérifiant la propriété (P). Déterminer les valeurs de p pour lesquelles cet entier n est ≤ 2021.
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 On désigne par :
1) A₀,B₀,C₀ les points de contact du cercle inscrit du triangle ABC sur les côtés BC,CA et AB
2) Ai,Bi,Ci les points de contact des trois cercles exinscrits touchant respectivement :
- pour i = 1 : le côté BC, la droite AC la droite AB
- pour i = 2 : la droite BC, le côté CA, la droite BA
- pour i = 3 : la droite CB, la droite CB et le côté AB .
3) Ti pour i = 0,1,2,3 les aires respectives des triangles AiBiCi
Démontrer la relation 1/T0 = 1/T1 + 1/T2+ 1/T3
Source : Kömal Contest 2019
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Le cercle (γ) de centre I est strictement intérieur au cercle (Γ) de centre O. D’un point P quelconque de (Γ) on trace les deux tangentes à (γ) qui coupent (Γ) une deuxième fois aux points Q et R. Le cercle circonscrit au triangle IQR coupe les droites [PQ],[PR] et [PI] respectivement aux points S,T et J. Soit K le point symétrique de J par rapport à la droite [ST].
Démontrer que lorsque P parcourt (Γ), les droites [PK] passent par un point fixe que l’on déterminera.
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Q1 Puce tire (sans remise) trois boules dans une première urne qui contient r boules rouges numérotées de 1 à r ≥ 3.Il constate que la probabilité de tirer trois numéros avec lesquels il peut former une progression arithmétique est égale à 7/65. Que vaut r ?
Q2 Puce tire (sans remise) trois boules dans une deuxième urne qui contient b boules bleues numérotées de 1 à b ≥ 3.Il constate que la probabilité de tirer trois numéros avec lesquels il peut former une progression arithmétique est égale à 1/14. Que vaut b ?
Q3 Puce cherche les entiers v ≥ 3 (s’ils existent) tels qu’en mettant v boules vertes numérotées de 1 à v dans une troisième urne, il obtient dans les cinq cas suivants les probabilités de tirer trois numéros formant une progression arithmétique égales respectivement à
1°) 1/2018,
2°) 1/2019,
3°) 1/2020,
4°) 1/2021,
5°) 1/2022.
Quelles sont ces valeurs de v ?
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Problèmes du mois
