On désigne par (a,b,….,g) et par [a,b,…..g] les PPCM (plus petits communs multiples) et PGCD (plus grands communs diviseurs) des entiers strictement positifs a,b,…..,g.
Par exemple (18,24,30) = 360 et [18,30] = 6.
Quels que soient les entiers strictement positifs  a,b,c, démontrer les deux chassés-croisés suivants :
                                              
Application numérique :
Diophante choisit trois entiers a,b,c strictement positifs distincts dont l’un des trois est inférieur à 100 et demande à Zig de calculer les PPCM des paires {a,b},{b,c} et {c,a} et à Puce les PGCD de ces mêmes paires. Zig obtient respectivement les entiers 4410, 2940 et 1260 tandis que Puce obtient les entiers 21,15 et 18.
 1) Prouver qu’au moins une erreur de calcul a été commise.
 2) Diophante précise qu’il y a une seule erreur de calcul dans les six valeurs. Corriger la et en déduire les valeurs de a,b et c.

Trouvez tous les nombres premiers p ≤ q ≤ r tels que les six entiers pq + r, pq + r², qr + p, qr + p^2, rp + q, rp + q² sont des nombres premiers. Justifiez votre réponse.

Soit un entier N représenté sous la forme classique p^αq^βr^γ…avec p,q,r,…nombres premiers distincts. L’incrémentation de N avec l’incrément i consiste à ajouter i à chacun des facteurs premiers de N afin d’obtenir l’entier égal à (p + i)^α(q + i)^β(r + i)^γ…que l’on représente à nouveau sous la forme p^α’q^β’r^γ’…
Par exemple avec N= 20 = 2².5 et un incrément égal à 3, on obtient l’entier égal à (2+3)²(3+5) =200 =2³5².
Zig et Puce choisissent respectivement un entier m₁ et un entier n₁ qui ont chacun au moins trois facteurs premiers distincts
Zig incrémente m₁ de 5 et obtient l’entier m₂ divisible par m₁
De son côté Puce incrémente n₁ de 9 et obtient l’entier n₂ divisible par n₁.
Ils utilisent les mêmes incréments 5 et 9 avec m₂ et n₂ afin d’obtenir m₃ et n₃.et ainsi de suite jusqu’à ce qu’ils obtiennent les entiers m₇ et  n₇ qui dépassent pour la première fois le gogol 10¹⁰⁰.
Déterminer les plus petites valeurs possibles de m₁ et de n1.

A l’intérieur d’un carré ABCD, on trace le triangle équilatéral CDE de base CD et de troisième sommet E. La droite [BE] coupe le côté AD au point F. On trace le point G sur CD tel que DG = DF. Les droites [FG] et [BG] coupent les côtés DE et CE du triangle CDE respectivement aux points H et I.
Partez sans le moindre bagage trigonométrique pour prouver en quelques lignes la propriété ci-après :
Les aires des triangles DGH, EIH, FEH, CIG sont dans le rapport 4 :3 :2 :1

Les termes x₁, x₂,….x_n,..de cette suite S sont des entiers > 0 qui obéissent à la formule de récurrence : x_n+3 = x_n+2(x_n+1 + x_n) pour tout n ≥ 1.
Sachant que x₁₀ = 11 598 039 613 440, calculer x₅ et le nombre de chiffres de x₂₀.

Diophante choisit deux entiers n  et k strictement positifs avec k < n.
Il demande à Zig de calculer pour chaque sous-ensemble non vide extrait de l’ensemble E des entiers naturels = {1,2,3,….,n} le produit des inverses des éléments de ce sous-ensemble(1) puis de faire la somme S de tous ces produits.Parallèlement il demande à Puce d’énumérer les C(n,k) k-uples extraits de E puis de faire la liste des plus grands termes de chacun  d’eux de moyenne arithmétique M  et la liste des plus petits termes de chacun  d’eux de moyenne arithmétique m.
Zig obtient S = 15 et Puce obtient m = 4. Déterminer M.
(1)Nota : par exemple avec n = 6, e = {2,4,5} est un sous-ensemble extrait de E ={1,2,3,4,5,6} et le produit des inverses des éléments de e est égal à 1/2*1/4*1/5 = 1/40
Souuce : olympiades internationales de mathématiques 1981