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Q1 Soit le polynôme P(n) = n17 + n + 1 défini pour tout entier n. Déterminer les valeurs de n > 1 pour lesquelles P(n) est un nombre premier.
Q2 Trouver le plus petit nombre premier p1 dont la somme des chiffres est un nombre premier p2 dont la somme des chiffres est un nombre premier p3 dont la somme des chiffres est un nombre premier p4 ≠p3
Pour les très courageux avec l’aide d’un très puissant automate : trouver le nombre premier p0 dont la somme des chiffres est p1
Q3 Un nombre entier à k chiffres est appelé « bi-premier » si les k – 1 paires de chiffres consécutifs forment une suite de
k – 1 nombres premiers distincts.Par exemple 173 est bi-premier tandis que 1313 et 196 ne le sont pas.
Déterminer le plus grand entier bi-premier et vérifier que c’est un nombre premier.
Nota : les trois questions sont indépendantes.
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Recenser les paires d’entiers positifs (n,p) avec n inférieur ou égal à 2023 et p nombre premier tels que :
n modulo p + n modulo 2p + n modulo 3p + n modulo 4p + n modulo 5p + n modulo 6p = n + p.
Source : d’après le problème n°4 posé aux Olympiades ibéro-américaines de mathématiques en 2005
Nota : il est conseillé de prêter une attention particulière au cas p = 5.
Liste des 100 premiers nombres premiers
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Q1 Déterminer le plus grand entier n qui divise p8‒ q8 quels que soient les nombres premiers p et q , p > q ≥ 7.
Q2 Prouver que pour n = 1,2,3,…les restes de la division des termes de la suite de terme général a(n) = nn par un nombre premier quelconque p forment une suite périodique dont on déterminera la période.
En déduire le reste de la division de 20232023 par 13.
Q3 Prouver qu’on sait trouver un entier n positif et huit entiers distincts strictement positifs qui forment une progression arithmétique tels que leur produit est égal à n2023
Nota : les trois questions sont indépendantes.
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Zig met dans une urne cubique de 50 cm de côté des boules de 10 cm de diamètre les unes bleues et les autres (en nombre pair) rouges.
Puce tire au hasard deux boules de l’urne, note leurs couleurs et les remet dans l’urne. Il réitère l’opération un très grand nombre fois et constate que lors d’un tirage il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules bleues.
Si l’on désigne par p la probabilité qu’il obtienne deux boules rouges au cours d’un tirage, déterminer le nombre X = 1/p.
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En vue de la prochaine Convention des Jeunes Mathématiciens en herbe, Alice, Bernard, Caroline et Damien préparent un exposé sur la théorie des ensembles illustré avec des diagrammes de Venn. Il ne leur reste plus qu’à déterminer la courbe fermée avec laquelle ces diagrammes seront représentés.
Pour ce faire chacun d’eux choisit une courbe parmi l’ensemble des dix courbes fermées convexes : {cercle, ellipse, triangle, carré, pentagone, hexagone, heptagone, octogone, ennéagone ,décagone} puis trace sur une feuille de papier un, puis deux, puis trois etc…exemplaires de cette courbe en annonçant à chaque fois le nombre maximum de régions distinctes du plan obtenues par chevauchement de ces courbes.
Par exemple, si Alice retient le cercle, elle annonce 2 régions avec le tracé d’un premier cercle puis 4 régions au maximum avec le tracé d’un deuxième cercle qui chevauche en partie le premier, puis 8 régions (voir diagramme ci-contre)….
A un moment donné, alors que chacun d’eux a tracé un nombre d’exemplaires de sa courbe différent de ses voisins et inférieur à 10, les quatre mathématiciens en herbe annoncent le même entier N de régions.
Déterminer N et les quatre familles de courbes qui ont été tracées.
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Problèmes du mois
BED si et seulement si la diagonale BD est la bissectrice de l’angle 
