Problèmes du mois - Problèmes du mois A1750. | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 1000 problèmes mathématiques

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Problèmes du mois

A1750. Une charade à tiroirs

Mon premier X est la plus grande valeur possible des PGCD de deux termes consécutifs de la suite définie par la relation an = n2 + 101, n = 1,2,3,…..
Mon deuxième Y est le nombre de paires d’entiers naturels a et b, a ≤ b, tels que PGCD(a,b) + PPCM(a,b) = X.
On considère Y couples distincts d'entiers positifs (u,v) dont les PPCM de u et de v prennent la même valeur z.
Mon troisième Z est le plus petite valeur possible de z.
Mon tout T est égal à (X + Y)/Z. Que vaut T?
Nota
1) PGCD : plus grand commun diviseur et PPCM : plus petit commun multiple.
2) Le couple (u,v) avec u ≠ v est distinct du couple (v,u)

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A2850. Curiosités radicales

Q₁ Simplifier l’expression (calculette exclue!) :

Q₂ Trouver les solutions réelles de l’équation :

Q₃ Trouver les solutions réelles de l’équation :

Q₄ Représenter dans le plan R² le graphique de la fonction

définie pour x ≥ 5 et prouver que y est une constante pour x appartenant à un certain intervalle que l’on déterminera.

Q₅ Représenter dans le plan R² le graphique de la fonction à deux variables x et y définie par la relation :f(x,y) =

Q₆ Représenter dans le plan R² les deux cubiques y = x³ ‒ 1 et y =

et déterminer les coordonnées de leurs points d’intersection.

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A390. Deux entiers et leurs cubes

Démontrer que quel que soit l’entier k ≥1, on sait trouver deux entiers a et b strictement positifs de k chiffres l’un et l’autre tels que l’entier n obtenu par concaténation de a et de b séparés par k zéros est égal à la somme des cubes de a et de b.

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D1702-Trois droites d'Euler

Soit un triangle ABC (scalène et non rectangle). On désigne par A’,B’,C’ les pieds des hauteurs issues de A,B et C sur les côtés BC,CA et AB.
Démontrer que les droites d’Euler des triangles AB’C’, A’BC’ et A’B’C sont concourantes en un point situé sur le cercle d’Euler du triangle ABC.

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D377. Randonnées montagnardes

Diophantiana Montagna peut être assimilée à un cône de sommet S dont l’apothème SD₁ (voir figure ci-contre) vaut quatre fois le rayon de la base circulaire OD₁.
Le long d'une génératrice Sx_i, on considère les couples de points (D_i,A_i), i = 1,2,…,k, tels que D_i est le point de départ de la plus courte randonnée r_i qui fait le tour de la montagne en passant par le point le plus élevé où se trouve l’unique refuge R avant de se terminer au point d’arrivée A_i.
Quelle que soit la randonnée, toutes les distances SD_i, SA_i, les parcours D_iRA_i s’expriment en nombres entiers de mètres. Il en est de même de SR distance du refuge au sommet.
Sachant que D₁ est le point de départ le plus éloigné de S avec SD₁ = 3000 mètres, démontrer qu’on sait tracer six parcours de randonnées distincts passant tous par R. Déterminer les points de départ par rapport au sommet S, les longueurs respectives de ces parcours ainsi que la distance SR.

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E568. Méli-mélo de plus et de moins

On considère n nombres différents de zéro. Pour chaque paire de nombres, on calcule la somme et le produit des deux nombres.
Q₁. n = 9 et la moitié des produits sont négatifs. Déterminer le nombre maximum possible de sommes positives.
Q₂. n = 21 et la moitié des sommes sont négatives. Déterminer le nombre maximum possible de produits positifs.

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