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Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s1 < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s1 et p1 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s1 = p1 ?
Q2 Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme s₂ et de plus petit commun multiple p2 tels que s2 et p2 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s2 = p2 ?
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Q1 Existe-t-il une progression arithmétique (PA) de 11 entiers positifs tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?
Q2 Même question avec une PA de 2021 entiers positifs.
Q3 Même question avec une PA d’une infinité d’entiers positifs.
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Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
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Q1 Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur.
Q2 Les sommets d’un triangle dont les angles sont distincts et ≠ 0 modulo 30° sont coloriés respectivement en bleu (A), en rouge (B) et en vert (C) dans le sens horaire sur le cercle circonscrit à ABC. A partir de deux points quelconques X et Y de couleurs différentes, un tour consiste à colorier de la troisième couleur le sommet Z d’un triangle équilatéral XYZ,l’ordre des couleurs sur le cercle circonscrit à XYZ étant le même que celui du triangle ABC.
Démontrer qu’après un certain nombre de tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les trois droites qui portent les trois couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera à la règle et au compas.
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Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
- arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240,
- algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200,
- géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220,
- combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30,
- logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.
Soient p la probabilité conditionnelle pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/n la fraction irréductible la plus proche possible de p avec m et n entiers < 99.
Calculer 100m + n.
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Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
 Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
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Problèmes du mois
