L’inverse de l'entier n est la somme des inverses de 72 nombres triangulaires consécutifs.
Q₁ Déterminer la plus petite valeur possible de n.
Q₂ Déterminer le nombre de valeurs de n ≤ 2025
Nota :  les nombres triangulaires (https://oeis.org/A000217) sont de la forme k(k + 1)/2 pour tout k entier ≥ 0

On désigne par p le produit des chiffres de l’entier n.
Q₁ Déterminer tous les entiers positifs tels que n² − 339n + 2025  = p
Q₂ Déterminer tous les couples d’entiers (a,n) tels que n² – an + 2025  = p > 0  avec 0 < n ≤ 2025 et 0 < a ≤ 2025.
Q₃ Pour les plus courageux disposant d’un automate :
 1) déterminer les couples d’entiers positifs (a,b) tel que pour chacun d’eux on sait trouver trois entiers n₁,n₂ et n₃ distincts > 0  de deux chiffres au plus et les entiers p , p₂ et p₃  > 0 qui vérifient l'équation n_i² – an_i + b = p_i  pour i = 1,2,3
 2) déterminer un couple d’entiers positifs (a,b) tel qu’on sait trouver quatre entiers n1, n2, n3 et n4 distincts > 0  et les entiers p₁, p₂, p₃ et p₄  > 0 qui vérifient l’équation n_i² – an_i + b = p_i  pour i = 1,2,3,4

Source : d’après olympiades internationales de mathématiques 1968

Zig choisit un entier n > 0 et établit toutes les partitions P_i (i = 1,2,….k) de cet entier sous la forme de suites d’entiers strictement positifs écrits dans un ordre non décroissant dont la somme est égale à n.
Pour chaque partition P_i, Zig mentionne le nombre u_i de chiffres 1 et le nombre d_i d’entiers distincts
Par exemple avec n = 4, on a les k = 5 partitions suivantes:  
 P₁ ={1,1,1,1} avec u₁ = 4 et d₁ = 1
 P₂ ={1,1,2} avec u₂ =2 et d₂ = 2
 P₃ = {1,3} avec u₃ =1 et d₃ = 2
 P₄ = {2,2} avec u₄ = 0 et d₄ = 1
 P₅ = {4} avec u₅ =0 et d₅ = 1

On désigne par :
su_n le nombre total de chiffres 1 écrits dans toutes les partitions de n :

sd_n le nombre total des entiers distincts écrits dans toutes les partitions de n :

Q₁ Prouver que, quel que soit n, su_n = sd_n

Lorsque Zig a terminé, une seule partition P’ avec quatre entiers distincts a été écrite et su_n < 100
Q₂ Déterminer n, le nombre correspondant k de partitions et sd_n. En déduire sd_n+1.

Soit un triangle acutangle ABC dans lequel BC < AB et BC < CA. On trace le point P distinct de B sur le segment AB et le point Q distinct de C sur le segment AC de sorte que BQ = BC = CP.
Soient T le centre du cercle circonscrit au triangle APQ, H l’orthocentre du triangle ABC et S le point d’intersection des droites [BQ] et [CP]. Prouver que les points T,H et S sont alignés.

S₁ Les points du plan sont coloriés en vert et jaune. Prouver que l’une des deux couleurs contient des points placés à n’importe quelle distance les uns des autres.

S₂ Les entiers naturels sont coloriés en rouge et bleu. La somme de deux entiers de couleurs différentes est bleue et leur produit est rouge.
 Q₁ Déterminer la couleur d’un entier qui est le produit de deux entiers rouges.
 Q₂ Il y a 119 nombres entiers rouges strictement inférieurs à 2025 que l’on classe par ordre croissant.    
 Déterminer le 19^ième de la liste.

S₃ On trace dans le plan xOy un losange équilatéral OABC avec A sur l’axe des abscisses et  AOC = 60°.    
 Q₁ Montrer qu’il existe une rotation d’angle α  autour de O telle que OABC devient OA’B’C’ avec BB’ =  BC.
 Q₂ En déduire que si les points du plan sont coloriés en rouge, bleu et jaune alors il y a nécessairement deux points du plan séparés de la distance 2025 qui sont de même couleur.

S₄ L’unique salle d’exposition de ce musée d’art contemporain a la forme originale d’un polygone à 14 côtés.                                          
                
                                                                                                         
 Q₁ En coloriant de manière appropriée les sommets de ce polygone, déterminer le nombre minimum de gardiens  qui permet d’en assurer la surveillance.
 Q₂ Pour les plus courageux : quel est le nombre minimum de gardiens avec un n-gone simple qui n’est pas croisé et ne contient pas de trous ?

Après être descendues de leurs luminaires, Formica la fourmi et Arachné l’araignée décident une course revanche dans un coin du jardin que Diophante a aménagé à la manière d’un échiquier avec des carrés de pelouse et de gravier fin de cinq mètres de côté.
                                    
                                                             
Comme indiqué dans la figure ci-dessus, Arachné et Formica prennent pour point de départ un coin de pelouse et fixent le point d’arrivée à l’autre extrémité de la diagonale commune à trois carrés de pelouse.
Arachné se déplace à raison de 144 centimètres par minute sur la pelouse et de 200 centimètres par minute sur le gravier fin tandis que Formica se déplace à raison de 125 centimètres par minute sur la pelouse et de 250 centimètres par minute sur le gravier fin. Elles partent au même moment et pour ne pas se gêner Arachné prend la direction Nord et Formica la direction Est.
Qui gagne cette seconde manche ?
Nota : on admet qu’Arachné et Formica savent fort bien calculer leur trajets optimaux sans avoir besoin de consulter ChatGPT qui aurait de fortes chances de les induire en erreur.

Les termes x₁, x₂,….x_n,..de cette suite S sont des entiers > 0 qui obéissent à la formule de récurrence : x_n+3 = x_n+2(x_n+1 + x_n) pour tout n ≥ 1.
Sachant que x₁₀ = 11 598 039 613 440, calculer x₅ et le nombre de chiffres de x₂₀.