Mis au goût du jour, voici quatre devoirs de vacances extraits du recueil de problèmes mathématiques "Propositiones ad acuendos juvenes" d'Albinus Flaccus Alcuin (735 – 804), précepteur de Charlemagne, directeur de l'Ecole Palatine à Aix-la-Chapelle et principal artisan de la Renaissance carolingienne.
Nul doute que ces récréations aiguiseront la perspicacité des jeunes lecteurs de diophante.fr même aussi celle des plus âgés…

1^er devoir [*]
Zig est un cycliste chevronné et a l'habitude de faire à bicyclette dans la journée le trajet aller-retour Vichy-Roanne qui traverse les Monts de la Madeleine à la hauteur de la Croix du Sud.
En terrain plat, sa vitesse moyenne est de 24km/h.
En terrain accidenté (hors la montée à la Croix du Sud), sa vitesse moyenne est de 18km/h à la montée et de 36km/h à la descente.
Lors de la montée à la Croix du Sud, sa vitesse moyenne est de 15km/h et passe à 60km/h dans la descente.
Il part de Vichy à 8 heures du matin, se repose pendant deux heures dès son arrivée à Roanne et par la même route qu'à l'aller il est de retour à Vichy à 16 heures.
Déterminer la distance en kilomètres qui sépare Vichy de Roanne.

2^ième devoir [**]
Zig et Puce se promènent dans la même direction sur une piste forestière des Bois Noirs, le premier à pied, le second sur son VTT tandis qu’un cavalier et un conducteur d’abatteuse-ébrancheuse viennent de la direction opposée. Tous les quatre avancent à des vitesses constantes.
-    A dix heures du matin exactement, Puce dépasse Zig,
-    Après un certain intervalle de temps t₁ Puce rencontre le cavalier,
-    Après un deuxième intervalle de temps t₂ qui suit t₁, Puce croise le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse,
-    Après un troisième intervalle de temps t₃ qui suit t₂, le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse rencontre Zig . Il est alors 10 heures 20 du matin.
-    Enfin après un quatrième intervalle de temps t₄ qui suit t₃, le cavalier se fait dépasser par le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse..
Sachant que t₁ = 2t₂ et t₄ = 2t₃ , déterminer  à quelle heure exactement Zig a rencontré le cavalier.

3^ième devoir [**]
Ce matin à 8 heures, Zig, Puce et leur jument Rossinante partent en randonnée pour faire leur circuit habituel de 34 km dans la Montagne bourbonnaise.
L'un des deux amis est à pied, l’autre chevauche Rossinante dont le trot est plus rapide que la marche à pied. Au bout d'un certain temps le cavalier descend de cheval et poursuit sa route à pied tandis que Rossinante fait demi-tour pour retrouver le marcheur. Celui-ci monte alors à cheval .
Ce manège où chacun des deux amis poursuit son chemin à pied tandis que l'autre chevauche Rossinante revenue à sa rencontre peut se répéter autant de fois qu'ils le décident.
Quand ils sont à pied, Zig et Puce se déplacent à des vitesses constantes, respectivement égales à 6km/h et 4km/h. Quand Rossinante est  seule ou chevauchée par l'un des deux amis, son trot est constant (12km/h).
Zig et Puce souhaitent être de retour l’un et l’autre avant midi au plus tard. Est-ce possible? Si oui, à quelle heure? Si non, quelle devrait être la vitesse de Puce (en km/h arrondie à l’entier le plus proche) pour qu’il en soit ainsi?

4^ième devoir [***]
Zig et Puce font un aller-retour sur la Sioule en canoë-kayak de la bourgade de Saint Pourçain au village de Bayet. A l'aller, ils sont à contre-courant.
Le départ est fixé à 10 heures du matin. Quelques instants plus tard, Puce perd sa caquette mais ne s'en aperçoit pas tout de suite. Quand il s’en rend compte, Puce plonge dans la rivière à la recherche de sa casquette.
Comme prévu, Zig arrive à Bayet à 11 heures et fait immédiatement demi-tour.
Zig revient au point  de départ  de Saint Pourçain au moment même où Puce retrouve sa casquette.
Zig fait alors le calcul que s’il avait fait demi-tour juste après avoir constaté la disparition de la casquette sans aller jusqu’à Bayet, la casquette aurait été récupérée à 1800 mètres de Saint Pourçain.
Sachant que la vitesse de déplacement (hors courant) de Zig sur le canoë-kayak, la vitesse de Puce à la nage (hors courant) , la vitesse du courant sont des constantes qui s'expriment en nombres entiers de kilomètres par heure, déterminer la distance qui sépare les deux villages et l'heure de retour des deux amis.

Soit un triangle scalène ABC. Le cercle de centre C et de rayon CA coupe la droite [AB] en un deuxième point D et le cercle de centre B et de rayon BA coupe la droite [AC] en un deuxième point E.
On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que la droite  [PE] coupe ce même cercle en un deuxième point G.
Les droites [BF] et [CG] se rencontrent en H, les droites [DE] et [FG] se rencontrent en I et les droites [AG] et [EH] se rencontrent en J.
Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Q₂ Démontrer que les trois points B,I et J sont alignés.

On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A₁,A₂,...,Ak.
Soient O₁ la point symétrique de O par rapport à la corde A₁A_k-1 et O₂ le symétrique de O par rapport à la corde A₂A₆.
O₁O₂ a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).
Déterminer k.