Pour tout entier n strictement positif, la fonction Ψ(n) est égale à somme des plus grands communs diviseurs (PGCD) de l’entier n et des entiers k, k variant de 1 à n.
En d’autres termes, si (n,k) désigne le PGCD de n et de k,
Par exemple Ψ(4) = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 et Ψ(5) = 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9

Q₁ Calculer Ψ(n) pour n variant de 1 à 25.[*]
Q₂ Démontrer que si p et q sont deux entiers relativement premiers entre eux Ψ(p.q) = Ψ(p).Ψ(q).[**]
Q₃ Calculer Ψ(2024) et trouver trois entiers a,b,c ,a ≠ b ≠ c ≠ 2024, tels que Ψ(a ) = Ψ(b) = Ψ(c) = Ψ(2024).[***]
Q₄ Prouver que pour tout entier m ≥ 1, l’équation Ψ(x) = mx a toujours au moins une solution en x.
Prouver que l’équation Ψ(x) = 2024x a au moins deux solutions en x et donner la condition nécessaire et suffisante sur m pour que l’équation Ψ(x) = mx ait une seule solution.[***]

Peut-on écrire pas nécessairement dans l’ordre croissant sept entiers consécutifs strictement positifs à la place des sept tirets ( _) qui figurent dans la relation  ci-dessous de sorte que celle-ci est vraie pour tout x réel ?
                                (x ‒ _).(x ‒ _).(x ‒ _) = (x ‒ _).(x ‒ _).(x ‒ _) + _

   

Avec une précision de dix chiffres après la virgule, déterminer :
Q₁ le nombre réel x de l’intervalle [1,2] tel que ⌊x^{2^n}⌋ + 2 est un carré parfait pour tout entier n ≥ 1, ⌊a⌋ désignant la valeur entière par défaut de a.
Q₂ le nombre réel y de l’intervalle [1,2] tel que ⌈y^{2^n}⌉ + 2 est un carré parfait pour tout entier n ≥ 2, ⌈a⌉ désignant la valeur entière par excès de a.
Nota 2^n = 2ⁿ

   

Calculer les valeurs des trois expressions ci-après, exclusivement à la main sans faire appel à une calculette ou à un automate programmable.
1ère expression [*]
 



2ème expression [**]
 


3ème expression [***]

 

Nota : si besoin est, on peut utiliser la vieille méthode du calcul à la main de la racine carrée d’un nombre quelconque. Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Extraction_de_racine_carrée

Ces trois problèmes classiques de géométrie du triangle et du cercle peuvent être résolus de multiples manières. Le lecteur est invité (sans aucune obligation !) à donner des solutions faisant appel aux  beautés de l’inversion.
Problème n°1 [**]
On considère quatre cercles (C1),(C2),(C3) et (C4) tels que le cercle (C3) admet les points P et Q comme points de tangence extérieure avec (C1) et (C2) et le cercle (C4)  admet les points R et S comme points de tangence  extérieure avec ces deux mêmes cercles. Démontrer que les quatre points P,Q,R,S sont cocycliques.
Problème n°2 [***]
La bissectrice de l’angle en A du triangle ABC rencontre le côté BC au point D. Le point D se projette respectivement en E,F,G,H sur les droites [AC], [AB], [BE] et [CF].Les droites [BE] et [CF] se rencontrent en I .Démontrer que les quatre points A,F,G,I sont cocycliques de même que les quatre points A,E,H,I .
Problème n°3 [****]
On considère un demi-cercle (Γ) de diamètre AB et de centre O. Une droite coupe (Γ) aux points C et D et la droite [AB] au point M tel que MB < MA, MD < MC.
Soit K le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles AOC et DOB. Prouver que la droite [KM} est perpendiculaire à la droite [OK]

   

Le quadrilatère convexe ABCD avec A,B,C et D dans cet ordre est tel que : AB² + CD² = BC² + DA²
On désigne par :
P le point d’intersection des diagonales AC et BD,
E,F,G et H les milieux des côtés AB,BC,CD et DA,
E’,F’,G’ et H’ les projections de G,H,E,F sur les droites [AB],[BC],[CD] et [DA],
K,L,M et N les projections de P sur les droites [AB],[BC],[CD] et [DA],
K’,L’,M’ et N’ les points d’intersections des droites [PM],[PN],[PK] et [PL] avec les droites [AB],[BC],[CD] et [DA],
Q1 Démontrer que les huit points E,F,G,H,E’,F’,G’,H’ sont cocycliques,
Q2 Démontrer que les huit points K,L,M,N,K’,L’,M’,N’ sont cocycliques,

   

Il est midi et 5 minutes et je viens de remonter le mécanisme des deux poids de mon horloge. Chaque fois qu’elle se met à sonner je note le nombre de coups sur la cloche, ce qui me permet d’établir jusqu’à minuit passé la suite des nombres cumulés de coups sur la cloche. J’obtiens ainsi la suite strictement croissante des entiers k ≥ 1 tels que la partie entière par défaut de la racine carrée de k ,⌊√ k⌋, divise k.
Décrire le mécanisme de la sonnerie de mon horloge et déterminer l’heure à laquelle elle a émis son 49^ième coup de cloche.
 

   

Zig et Puce joue au jeu bien connu « Pair et Impair, Gagne ou Perd ».
Diophante écrit au tableau les deux entiers 2 et 3. A chaque tour, les deux amis prononcent simultanément à voix haute  l’un des deux entiers de leur choix. Zig est gagnant si la somme s des deux entiers annoncés est impaire et Puce est gagnant si elle est paire. La somme payée par le perdant au vainqueur est la somme s en euros.
Q₁ Prouver que quelle que soit la tactique adoptée par Puce, le jeu est favorable à Zig et déterminer l’espérance de gain de ce dernier à l’issue de 100 tours.
Q₂ Diophante écrit un nouveau couple d’entiers (a,b) avec a et b < 25   de parités différentes. Les règles du jeu restent les mêmes. A l’issue de 100 tours, Zig a reçu 35 € de Puce. Déterminer a et b.

Cinq amis de Diophante se sont donné rendez-vous pour écouter la brillante conférence de Laurent Lafforgue sur les catégoriques syntaxiques pour les motivations de Nori. Comme l’exposé a été  très ardu, chacun d’eux s’est assoupi deux fois et pour chaque paire d’amis, il y a toujours eu un moment où l’un et l’autre se sont assoupis. Prouver qu’à un certain moment, trois d’entre eux se sont simultanément assoupis.

   
                                                      
Zig placé à l’origine Z(0,0) observe les sapins de sa forêt qui sont régulièrement espacés tous les quatre mètres selon le schéma ci-dessus dans un triangle rectangle isocèle ABC. Chaque arbre est repéré par ses coordonnées entières (i,j). L’arbre placé en A a pour coordonnées (4,0) et les arbres placés en B et C ont pour coordonnées respectives (4k, 4k – 4) et (4k, -4k + 4).
Zig peut voir le sapin (i,j) s’il n’y a pas d’arbre situé exactement sur la ligne de vue entre cet arbre et lui-même. Ainsi Zig voit l’arbre (20,8) et à l’inverse ne voit pas l’arbre (32, - 24) qui est caché par l’arbre
(16, - 12).
Zig voit exactement 555 arbres dans sa forêt, y compris les arbres à cheval sur les limites du triangle. Déterminer sa surface en m².