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Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) =  avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
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Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points B0,B1,B2,B3,…Bn les uns à la suite des autres de sorte que la ligne brisée B0A0B1A1B2A2B3A3….BnAn délimite les 2n + 1 triangles OA0B0, B0A0B1, A0B1A1, B1A1B2,…., An-1BnAn qui ont tous la même aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)
Déterminer la limite de OBn /OAn quand n tend vers l’infini.
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Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ n2020 +1 ?
Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres:
163 840 001 601,
50 629,
656 829 000 901,
216 145 087,
99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.
(1)Nota : Sophie Germain, mathématicienne, (1776-1831).
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On choisit au hasard quatre points A,B,C,D indépendamment les uns des autres, dans les quadrants respectifs Nord Ouest, Nord Est, Sud Est et Sud Ouest d’un carré dont les sommets ont pour coordonnées (–1,1), (1,1),(1, –1) et (–1, –1)
Est-il exact que la probabilité que le quadrilatère ABCD soit convexe est supérieure à 90% ?
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Dans une grande forêt de résineux sur terrain plat, Zig est assis sur la souche d’un arbre prise pour origine. Toute la forêt est plantée d’arbres assimilés à des colonnes cylindriques dont les axes passent par les points de coordonnées entières exprimées en mètres : (5i,5j) avec i et j entiers relatifs quelconques, i ou j non nul. Dans le quadrant Nord-Est y compris les demi-axes Ox et Oy, les arbres sont des douglas de diamètre 40 centimètres. Dans le reste de la forêt les arbres sont des mélèzes plus jeunes.
Q1 Démontrer que quel que soit le quadrant où Zig porte son regard, l’horizon est bouché.
Q2 Déterminer les limites de cet horizon dans le quadrant Nord-Est.
Q3 Un capteur de distances indique à Zig que le mélèze le plus éloigné lui bouchant l’horizon est à 475 mètres. Calculer le diamètre des mélèzes.
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Problèmes du mois
BCD = 
