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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1895. Des zéros sur commande Imprimer Envoyer

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On s'intéresse au coefficient central de la formule du binôme de Newton: pour k entier > 0, C(2k,k) = 2k!/k!2 avec factorielle de x = x! = 1*2*3*...*(x − 1)*x
Q1 Démontrer qu'il existe un entier k1 tel que C(2k1,k1) se termine par 2018 zéros.
Q2 Démontrer qu'il existe un entier k2 > k1 tel que C(2k2,k2) se termine par un seul zéro.
Q3 Démontrer qu'il existe un entier k3 > k2 tel que C(2k3,k3) se termine par un chiffre distinct de 0.

Application numérique: déterminer le plus petit entier k₁ tel que C(2k1,k1) se termine par 3 zéros, puis le plus petit entier k2 > k1 tel que C(2k2,k2) se termine par un seul zéro et enfin le plus petit entier k3 > k2 tel que C(2k3,k3) se termine par un chiffre différent de 0.



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A2990. On suppose que la Terre est plate... Imprimer Envoyer

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...et que trois navires N1,N2 et N3 se déplacent à vitesses constantes en plein milieu de l'Atlantique en gardant le même cap, N₁ étant le plus rapide des trois.
A 8h 45mn, 20 milles marins séparent N1 de N2,
A 9h 20mn, 15 milles marins séparent N1 de N2,
A 9h 40mn, 13 milles marins séparent N1 de N2,
A 11h 20mn, N3 est à 13 milles marins de N₁ et croise la route de N2 avec une distance de 20 milles marins qui les sépare,
A 13 heures exactement, N1 et N3 évitent de toute justesse la collision.
Q1 Déterminer les distances qui séparent N3 de N1 et de N2 à 9h 40mn.
Q2 Déterminer la distance qui sépare N1 de N2 à 13 heures.



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A371. Les nombres harmonieux Imprimer Envoyer

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Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie"
Q1 Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.
Q2 Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.
Q3 Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q4 Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.



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A4906. Du Diophante pur sucre (1er épisode) Imprimer Envoyer

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Q1 Déterminer le plus petit entier qui est de quatre manières différentes l'hypoténuse d'un triangle pythagoricien. [*]
Q2 Trouver quatre nombres rationnels strictement positifs tels que le carré de leur somme augmenté ou diminué de chacun de ces nombres fait apparaître à chaque fois le carré d'un nombre rationnel.[***]



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A595. Une puissance porte-bonheur Imprimer Envoyer

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Soient trois entiers strictement positifs a,b et c tels que a divise le cube de b, b divise le cube de c et c divise le cube de a. Démontrer que le produit des trois entiers divise leur somme élevée à la puissance 13.



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D1811. En souvenir de Toshio Seimiya Imprimer Envoyer

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Soient un triangle ABC rectangle en A, M le milieu de son hypoténuse  et (Γ) son cercle circonscrit. La droite qui passe par les milieux de AB et de AC coupe le cercle (Γ) aux points P et Q.
Dans le demi-plan délimité par la droite BC qui contient A, on trace les cercles (ΓB)  et (ΓC) circonscrits aux triangles ABM et ACM puis le cercle (γ) tangent à la droite BC et extérieurement aux cercles (ΓB)  et (ΓC). On désigne par R et S les points de contact de (γ) avec (ΓB)  et (ΓC).
Dans l'autre demi-plan délimité par la droite BC, on trace le cercle (γ') tangent à la droite BC et extérieurement aux cercles (ΓB)  et (ΓC). On désigne par T et U les points de contact de (γ') avec (ΓB)  et (ΓC).
Démontrer que les six points P,Q,R,S,T et U sont cocycliques.

Nota: Toshio Seimiya,mathématicien japonais, a conçu dans les années 1950 à 2000 un très grand nombre de problèmes de géométrie dont la plupart ont été diffusés dans la revue canadienne Crux Mathematicorum.Ce problème est une variante de l'un de ses problèmes les plus connus.



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E127. Pérégrinations en milieu hostile Imprimer Envoyer

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Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si  n appartient à S(k), l'entier m = kn en est exclu. L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k = 2 (http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).
Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".
Q1 Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.
Q2 Déterminer  le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9,11.
Q3 Déterminer  le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11



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E697. Les croix rouges Imprimer Envoyer

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On donne dans le plan 2018 points tels que les distances qui séparent ces points pris deux à deux sont toutes distinctes. Pour chacun d'eux, on marque d'une croix rouge le point le plus proche parmi les 2017 autres points. Déterminer le nombre minimal de croix rouges.



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G196. Stop! Seuil à ne pas dépasser Imprimer Envoyer

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Vous lancez un dé à 6 faces supposé parfait autant de fois que vous le souhaitez et vous calculez la somme des numéros obtenus depuis le premier lancer. Quand vous vous arrêtez, la somme devient votre score à condition qu'elle ne dépasse pas le seuil k = 13, sinon votre score est nul. Déterminez la meilleure stratégie qui permet de maximiser l'espérance mathématique de votre score et démontrez que celle-ci peut être supérieure à 10.
Pour les plus courageux: le seuil à ne pas dépasser étant un entier k quelconque > 20, trouvez une formule approchée donnant l'espérance mathématique optimale de votre score.



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