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Soit un entier n et un nombre premier p.
Parmi ces trois affirmations,il s’agit de faire le tri et d’identifier le vrai et le faux :
- si p divise n3 – 1 et que 4p – 3 est un carré parfait, alors n divise toujours p – 1,
- si n divise p – 1 et que p divise n3 – 1, alors 4p – 3 est toujours un carré parfait,
- si 4p – 3 est un carré parfait et que n divise p – 1, alors p divise toujours n3 – 1
Justifiez vos réponses.
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Six nombres entiers strictement positifs distincts sont écrits sur le tableau noir. Un tour consiste à effacer deux d’entre eux, a et b par exemple, que l’on remplace par leur PGCD (plus grand commun diviseur) et leur PPCM (plus petit commun multiple) à condition que ces deux termes soient l’un et l’autre différents de a et de b.
On continue le processus aussi longtemps qu’il est possible de modifier les termes de la suite.
Q1 Démontrer qu’après un nombre fini de tours la suite des six entiers reste inchangée [*]
Q2 Déterminer N le nombre maximum de tours qui peuvent être réalisés et pour cette valeur N donner un exemple de la suite initiale qui contient l’entier 2020.[***]
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On fixe un entier k strictement positif et on suppose que trois nombres réels x,y et z satisfont les équations suivantes : x + y/z = k, y + z/x = k et z + x/y = k.
Q1 Démontrer qu’on sait calculer la somme s de ces trois nombres et leur produit p sans avoir besoin de calculer chacun d’eux.
Q2 Déterminer en fonction de k le nombre de solutions possibles du couple (s,p)
Application numérique : k = 1, k = 2, k = 3, k = 2019, k = 2020
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Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.
Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.
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J’ai l’habitude de dîner dans le bistrot de mon quartier sans réserver à l’avance si bien qu’à mon arrivée j’ai une probabilité p*> 0 qu’une table soit libre.
Ce soir, une fois n’est pas coutume, avant d’aller dîner, je téléphone à la réception pour savoir si une table est libre. On me répond par l’affirmative. Comme le réceptionniste dit la vérité avec une probabilité q* telle que 0 < q < 1, je calcule une certaine probabilité p1 qu’une table soit effectivement libre et j’obtiens p1 = 2p.
Je rappelle immédiatement le bistrot et un deuxième réceptionniste, aussi fiable que le premier, me répond à nouveau qu’une table est disponible, sans connaître la première réponse qui m’a été faite.
De nouveaux calculs me donnent une probabilité p₂ qu’une table soit effectivement libre et j’obtiens p2 = 3p.
Q₁ A la suite de ce deuxième appel téléphonique, ai-je de bonnes chances d’aller dîner sans faire la queue ? Justifiez votre réponse en déterminant p,q,p1 et p2.
Q₂ Combien d’appels téléphoniques devrais-je passer au minimum pour avoir 99 chances sur 100 de trouver une table libre, en supposant que les réponses de la réception à la question « une table est-elle libre ? » sont toutes indépendantes entre elles avec la même probabilité q* d’être dans le vrai ?
NB * les probabilités p et q ont été l’une et l’autre mesurées par l’expérience.
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Problèmes du mois
et a4 = a3 + 
