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On désigne par S(x) la somme des chiffres d’un entier positif x en représentation décimale.
Pour tout x, on s’intéresse aux ratios r2(x) = S(x)/S(2x) et r3(x)= S(x)/S(3x)
Q1 Prouver que r2(x) ≤ 5. Cette borne 5 peut-elle être améliorée ?
Q2 Prouver que r3(x) n’admet pas de borne supérieure.
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Zig écrit au tableau noir les puissances successives de 2 : 20 = 1,21 = 2, 22 = 4,….jusqu’à 221 = 2 097 152.
Puce choisit alors deux nombres qu’il efface en les remplaçant par leur différence (qui est toujours non négative).Il poursuit le processus vingt et une fois et un seul nombre N reste sur le tableau.
Q1 Zig demande à Puce d’obtenir le nombre N = 1234567. Aidez Puce à obtenir cet entier ou sinon démontrez que c’est impossible.
Q2 Dénombrez toutes les valeurs possibles de N. Justifiez votre réponse.
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Pour k prenant la valeur 7 puis la valeur 2022, démontrer qu’il existe k nombres réels pas nécessairement distincts dont la somme est égale à π et dont la somme des inverses est égale à φ (nombre d’or)
Pour les plus courageux : trouver un entier n tel que quels que soient x et y réels, il existe n nombres réels pas nécessairement distincts dont la somme est égale à x et la somme des inverses est égale à y.
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On considère les 22022 expressions de la forme  où devant chacun des 2022 radicaux on peut avoir soit le signe « + » soit le signe « ‒ ».
Démontrer que leur produit est un carré parfait.
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On trace :
- un triangle isocèle ABC (AB = AC) dont l'angle en A est obtus.
- le cercle (Γ) de centre A et de rayon AB.
- le point D sur la droite [AB] tel que AD = BC avec B situé entre A et D.
- le point E à l'intersection de la droite [CD] avec (Γ).
- le point F sur le segment AB tel que AF = BE.
Montrer que le triangle EDF est isocèle (ED = EF) si et seulement si l'angle en A prend une certaine valeur à déterminer.
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On donne un segment AB de longueur 2. Les points X,Y,Z sont choisis dans l’espace de sorte que ABX est un triangle équilatéral et ABYZ est un carré. Démontrer que les orthocentres des triangles XYZ se trouvent sur la circonférence d’un cercle dont on précisera le plan auquel il appartient, le centre et le rayon.
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Zig aligne sur une même rangée 30 cartes dont 15 ont le dos rouge et 15 ont le dos bleu.
Sur chacune de leur face est écrit un numéro chosi parmi l’ensemble des entiers naturels de 1 à 60. Les 30 numéros sont distincts.
Q1 Prouver qu’il existe toujours une suite de 10 cartes adjacentes dont 5 ont le dos rouge et 5 ont le dos bleu.
Q2 Zig constate que la somme des 30 numéros est un nombre pair et qu’il est impossible de faire deux paquets de cartes dont les sommes des numéros sont égales. Déterminer les numéros des 30 cartes.
Nota: les deux questions sont indépendantes.
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Diophante écrit les entiers de 1 à 16 sur seize cartes puis il distribue quatre cartes à chacun des quatre amis Alice, Bernard, Caroline, Damien. Chacun d’eux voit exclusivement ses propres cartes.
On les entend dire successivement :
Alice : « mes entiers sont tous des nombres premiers »,
Bernard : « mes entiers forment une progression arithmétique »,
Caroline : « le produit de mes entiers est la factorielle d’un entier k »,
Damien : « maintenant, je sais dire quelles sont les cartes détenues par chacun d’entre vous ».
Cher lecteur, déterminez k.
Nota: il y a plusieurs valeurs de k possibles
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Trois joueurs A,B,C organisent un tournoi à pile ou face. Chacun lance en même temps que les deux autres une pièce de monnaie (supposée parfaite) et si l’un d’eux obtient « pile » et les deux autres « face » ou bien « face » et les deux autres « pile », l’exception gagne. Si les pièces tombent toutes sur « pile » ou toutes sur « face » alors personne ne gagne et on recommence un autre tour jusqu’à ce qu’un vainqueur soit désigné.
Q1 A se munit d’une pièce biaisée dont le côté « pile » apparaît avec la probabilité p = 0.48. Les pièces de B et C sont parfaites. Déterminer qui a la probabilité la plus élevée d’obtenir la première place.
Q2 B se munit à son tour d’une pièce biaisée dont le côté « pile » apparaît avec la probabilité q ≠1/2. Seule la pièce de C est parfaite. Déterminer selon les deux cas a) q= 0.51 et b) q = 0.47 qui a la probabilité la plus élevée d’obtenir la première place.
Q3.C se munit à son tour d’une pièce biaisée dont le côté « pile » apparaît avec la probabilité r ≠1/2. A et B ont toujours leur pièce biaisée.
Déterminer en fonction de r et selon les deux cas a) q = 0.51 et b) q = 0.47 qui a la probabilité la plus élevée d’obtenir la première place.
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Problèmes du mois
de sorte que le nombre de traits tracés (lignes droites, arcs de cercle) est au plus égal à 10.
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