Pour un entier N à k chiffres (k > 1), contenant au moins deux chiffres distincts, on considère les k entiers obtenus par permutations circulaires de ses chiffres. 
Lorsqu’on effectue ces permutations circulaires, on écrit toujours une chaîne de k chiffres, même si celle-ci commence par un ou plusieurs zéros ; la valeur de l’entier correspondant est alors établie en supprimant ces zéros initiaux. 
Par exemple avec N = 30501, on a les cinq permutations circulaires 30501, 05013, 50130, 01305, 13050 auxquelles correspondent les entiers 30501,5013,50130,1305 et 13050 .
On calcule le PGCD de ces k entiers et, pour un k donné, on désigne par p(k) le plus grand de ces PGCD.
Q₁. Pour k variant entre 2 et 12, déterminer p(k) et le plus petit entier N de k chiffres qui lui correspond et est retenu comme témoin.
Q2. Prouver qu’il existe une formule générale simple des p(k)  et des plus petits témoins N avec trois sous-ensembles distincts d’entiers k de cardinal infini.

Diophante fixe un entier k > 0.
p et q étant deux nombres premiers distincts, p > q, Zig s’intéresse aux entiers m et n tels que :
-  m est divisible par p et possède q diviseurs,
-  n est divisible par q et possède p diviseurs 
-  n < m10^k. 
Zig a trouvé 17 couples (p,q) possibles.
Déterminer k et ces 17 couples.

Les côtés AB et BC d’un quadrilatère convexe ABCD ont pour dimensions respectives 2025 et 2026. Deux des côtés du quadrilatère sont parallèles. M est milieu de BC et N est milieu de CD. Les segments AN et DM se coupent en un point P  tel que AP = 4PN. Quelles sont les valeurs possibles des côtés CD et DA ?

Zig montre avec fierté à Puce deux albums de bandes dessinées qui retracent leurs aventures. Les pages de chaque album sont numérotées 1, 2, 3, … jusqu’à la dernière page.
Désignant le premier album, Zig déclare :« En additionnant les numéros de toutes les pages, à l’exception de moins de dix numéros consécutifs peu lisibles, j’ai obtenu 2026. Combien cet album comporte-t-il de pages et quels sont les numéros peu lisibles ? »
Puce : « Je ne sais pas répondre. »
Zig : « Dans le deuxième album, j’ai additionné les numéros de chaque page et j’ai compté une seconde fois l’un des numéros illisibles du premier album. J’ai encore obtenu 2026. »
Puce : « Cette fois, je sais répondre. »
Déterminer le nombre de pages de chacun des deux albums ainsi que le numéro compté deux fois dans le deuxième album.

Dans un service d’urgence, trois médecins consultent simultanément. Les durées des consultations sont indépendantes les unes des autres, d’un médecin à l’autre et d’un patient à l’autre, et suivent toutes une loi exponentielle de durée moyenne 20 minutes. On note λ = 1/20 min^−1 son paramètre.
Les arrivées des patients dans le service sont indépendantes les unes des autres. Chaque patient  est pris en charge dans l’ordre de son arrivée dès qu’un médecin se libère.
Au moment où j’entre dans la salle d’attente, les trois médecins sont occupés et quatre patients arrivés avant moi attendent déjà leur tour.
Q₁. Un patient est déjà en consultation depuis m minutes chez l’un des médecins. Démontrer que, pour ce médecin, le temps restant avant la fin de cette consultation suit encore la même loi exponentielle de paramètre λ, indépendamment de m. En déduire la loi de probabilités du temps qui s’écoule avant que le premier des trois médecins ne se libère.[**]
Q₂. Déterminer la durée moyenne de mon attente avant d’être appelé par un médecin.[***]
Q₃. Pour les plus courageux :calculer la probabilité pour que mon temps d’attente soit supérieur à la durée moyenne calculée en Q₂.[****]

On considère une grille rectangulaire de m × n cases. Certaines cases sont laissées vides et 40 cases reçoivent l’un des chiffres 1, 2, 3 ou 4. Une case portant le chiffre i doit avoir exactement i voisines elles-mêmes chiffrées parmi les cases qui lui sont adjacentes par un côté.
Un exemple d’une grille 3x7 est donné ci-après :
                                                  
On impose en outre qu’il y ait exactement dix cases « 1 », dix cases « 2 », dix cases « 3 » et dix cases « 4 ». Déterminez la plus petite aire mn possible en justifiant votre réponse et donnez la représentation graphique d’une grille optimale.