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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1723. Faire le tri Imprimer Envoyer

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Soit un entier n et un nombre premier p.
Parmi ces trois affirmations,il s’agit de faire le tri et d’identifier le vrai et le faux :
- si p divise n3 – 1 et que 4p – 3 est un carré parfait, alors n divise toujours p – 1,
- si n divise p – 1 et que p divise n3 – 1, alors 4p – 3 est toujours un carré parfait,
- si 4p – 3 est un carré parfait et que n divise p – 1, alors  p divise toujours n3 – 1
Justifiez vos réponses.




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A1726. PGCD et PPCM main dans la main Imprimer Envoyer

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Six nombres entiers strictement positifs distincts sont écrits sur le tableau noir. Un tour consiste à effacer deux d’entre eux, a et b par exemple, que l’on remplace par leur PGCD (plus grand commun diviseur) et leur PPCM (plus petit commun multiple) à condition que ces deux termes soient l’un et l’autre différents de a et de b.
On continue le processus aussi longtemps qu’il est possible de modifier les termes de la suite.
Q1 Démontrer qu’après un nombre fini de tours la suite des six entiers reste inchangée [*]
Q2 Déterminer N le nombre maximum de tours qui peuvent être réalisés et pour cette valeur N donner un exemple de la suite initiale qui contient l’entier 2020.[***]




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A2817. Par permutation circulaire Imprimer Envoyer

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On fixe un entier k strictement positif et on suppose que trois nombres réels x,y et z satisfont les équations suivantes : x + y/z = k, y + z/x = k et z + x/y = k.
Q1 Démontrer qu’on sait calculer la somme s de ces trois nombres et leur produit p sans avoir besoin de calculer chacun d’eux.
Q2 Déterminer en fonction de k le nombre de solutions possibles du couple (s,p)
Application numérique :  k = 1, k = 2, k = 3, k = 2019, k = 2020



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A4927. Quatre d'affilée ou plus? Imprimer Envoyer

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Q1 Montrer qu’on sait trouver une infinité de quadruplets d’entiers positifs dans l’ordre strictement croissant     a1 < a2 < a3 < a4 tels que  a3 = a2a4927-01  et a4 = a3 + a4927-02
Q2 Montrer qu’on sait trouver au moins un quadruplet d’entiers positifs dans l’ordre strictement croissant        a1 < a2 < a3 < a4 tels que   a3 = a2a4927-01  et a4 = a3 + a4927-02 et l’un des quatre entiers est égal à 2020.
Q3 Existe-t-il une suite d’entiers strictement positifs a1,a2,a3,… tels que pour tout entier n ≥ 1 on ait a relation a4927-03



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D1849. Virage à angle droit Imprimer Envoyer

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Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.
Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.




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G1906. Aléas dinatoires Imprimer Envoyer

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J’ai l’habitude de dîner dans le bistrot de mon quartier sans réserver à l’avance si bien qu’à mon arrivée j’ai une probabilité p*> 0  qu’une table soit libre.
Ce soir, une fois n’est pas coutume, avant d’aller dîner, je téléphone à la réception pour savoir si une table est libre. On me répond par l’affirmative. Comme le réceptionniste dit la vérité avec une probabilité q*  telle que      0 < q < 1, je calcule une certaine probabilité p1 qu’une table soit effectivement libre et j’obtiens p1 = 2p.
Je rappelle immédiatement le bistrot et un deuxième réceptionniste, aussi fiable que le premier, me répond à nouveau qu’une table est disponible, sans connaître la première réponse qui m’a été faite.
De nouveaux calculs me donnent une probabilité p₂ qu’une table soit effectivement libre et j’obtiens p2 = 3p.
Q₁ A la suite de ce deuxième appel téléphonique, ai-je de bonnes chances d’aller dîner sans faire la queue ? Justifiez votre réponse en déterminant p,q,p1 et p2.
Q₂ Combien d’appels téléphoniques devrais-je passer au minimum pour avoir 99 chances sur 100 de trouver une table libre, en supposant que les réponses de la réception à la question « une table est-elle libre ? » sont toutes indépendantes entre elles avec la même probabilité q* d’être dans le vrai ?

NB * les probabilités p et q ont été l’une et l’autre mesurées par l’expérience.




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