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Q1 Démontrer que tout entier n peut être tricoté avec deux progressions arithmétiques de trois entiers appelées "mailles" {a1,a2,a3} et {b1,b2,b3} telles que n = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Q2 Démontrer qu'il existe un nombre fini d'entiers k > 3 tels que tout entier n peut être tricoté avec deux mailles de k entiers chacune telles que n =a1b1 + a2b2 + .....+ akbk.
Application numérique: donner des exemples de tricotage des entiers 2017 et 2018 pour k = 3 et pour les valeurs de k déterminées dans Q2.
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On trace sur l'axe des abscisses x'Ox du plan à deux dimensions les points A,B,C et D respectivement d'abscisses entières 1,2,3 et 2018.
On suppose qu'il existe dans le même plan une famille (infinie) de droites parallèles régulièrement espacées.
La distance qui sépare A de la droite ∆a la plus proche est égale à 0,15.
La distance qui sépare B de la droite ∆b la plus proche est égale à 0,225.
La distance qui sépare C de la droite ∆c la plus proche est égale à 0,225.
Calculer la distance qui sépare D de la droite ∆d la plus proche et déterminer l'équation de cette droite.
Nota:
-Les droites ∆a,∆b,∆c sont distinctes.
-Une solution est demandée. Bien entendu,si le problème admet plusieurs solutions,le lecteur a toute liberté de les décrire.
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On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible.
Ainsi p1 = 2018 et p2 = 2016 avec la partition 2018 = 2016 + 2, tout autre participation de 2018 de la forme 2018 = a + (2018 − a) donnant un PPCM de a et 2018 − a strictement supérieur à 2016.
Q1 Démontrer que la suite des pk contient un nombre fini de termes.
Q2 Déterminer les termes de la suite des pk pour k variant de 3 à 9.
Q3 Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des pk et les indices k pour lesquel cette valeur minimale est atteinte.
Q4 Pour les plus courageux: determiner la valeur du dernier terme de la suite des pk.
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Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q. Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.
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Les deux questions Q1 et Q2 sont indépendantes l'une de l'autre.
Q1 Zig place les points A1,A2,A3 et A4 dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle (Γ) puis il trace la parallèle à A1A2 passant par A4 qui coupe (Γ) en un deuxième point A5.Il répète le processus en traçant la parallèle à AiAi+1*** passant par Ai+3 qui coupe (Γ) en un deuxième point Ai+4. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig obtient un point qui se confond avec l'un des quatre points d'origine.
Qu'en est-il si les points A1,A2,A3 et A4 sont placés dans un ordre quelconque sur le cercle (Γ)?
***Nota: Si la parallèle à AiAi+1 passant par Ai+3 est tangente au cercle (Γ), alors Ai+4 = Ai+3
Q2 Zig trace deux cercles (γ) et (γ') de même rayon r dont les centres O et O' sont à une distance d < r. Soit un point quelconque B1 de (γ). Zig trace le segment B1B2 = r avec B2 choisi parmi les deux points possibles sur (γ') puis le segment B2B3 = r avec le point B3 sur (γ) autre que B1. Il répète le processus en alternant les points Bi sur l'un des deux cercles et Bi+1 (autre que Bi-1) sur l'autre cercle tels que BiBi+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B1.
Pour les plus courageux: Zig trace le cercle (γ) de rayon r puis le cercle (γ') de rayon r' < r centré sur la circonférence de (γ). A partir d'un point quelconque B1 de (γ'), Zig trace successivement les points B2,B3,...en alternance sur les cercles (γ) et (γ') tels que BiBi+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B1.
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Deux structures métalliques qui ont respectivement la forme d'un icosaèdre régulier et d'un dodécaèdre régulier sont suspendues à un fil par l'un de leurs sommets. Les deux structures s'inscrivent dans des sphères de même rayon égal à 30 cm.
Coccinella Septempunctata est installée au sommet le plus haut de la première et Formicida Lasius Niger au sommet le plus haut de la deuxième.
Les deux bestioles décident au même moment de se promener en suivant les arêtes de leur habitacle,la coccinelle à la vitesse uniforme de 20 cm par minute et la fourmi à la vitesse uniforme de 32 cm par minute. Chaque fois que l'une ou l'autre arrive à un sommet, elle choisit l'une quelconque des arêtes qui partent de ce sommet avec une égale probabilité, quitte à faire marche arrière. Quand elles parviennent au sommet le plus bas, elles s'arrêtent pour faire une pause avant de recommencer une nouvelle promenade.
Déterminer l'écart (en minutes et secondes) qui sépare la durée moyenne de leurs parcours.
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Problèmes du mois
