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Q1 Déterminer le plus grand commun diviseur des deux nombres : 2017! et 2015! − 1
Q2 Pour tout entier k tel que 1 < k < 2017, déterminer en fonction de k le reste de la division de (k − 1)!*(2017 − k)! par 2017.
Nota: La factorielle de n qui s'écrit n!, désigne le produit des n premiers nombres entiers 1*2*3*...*(n − 1)*n
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Q1 Déterminer trois entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas le troisième.
Q2 Déterminer quatre entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas les deux autres.
Q3 Prouver que l'on sait trouver 2017 entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas les 2015 autres.
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Trouver la plus petite fraction irréductible p/q telle que pour tout entier n > 0, le nombre n17/17 + n13/13 + n11/11 + n7/7 + n5/5 + n3/3 + n2/2 + np/q est un entier.
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Soient un triangle ABC, M le milieu du côté BC et D le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le côté BC. Le cercle circonscrit au triangle ADM coupe les côtés AB et AC aux points P et Q. Démontrer que la parallèle menée par M à la droite AD coupe le segment PQ en son milieu.
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On trace 29 intervalles de longueurs finies sur une même droite avec des chevauchements possibles de certains d'entre eux. On désigne par I le plus petit intervalle fermé qui les contient tous.
Si on réduisait chaque intervalle d'un tiers de sa longueur sur sa partie droite, I aurait une longueur de 50,0 cm.
Si on réduisait chaque intervalle d'un tiers de sa longueur sur sa partie gauche, I aurait une longueur de 40,3 cm.
Est-il possible que le plus long des 29 intervalles ait exactement 29 cm de plus que l'intervalle le plus court?
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L'entier 1 est placé à chacune des extrémités d'un (très long) segment. La première étape consiste à insérer sur le segment entre ces deux nombres leur somme, c'est à dire le nombre 2. A l'étape suivante,on insère entre le "1" et le "2" le nombre 3 égal à leur somme puis à nouveau le nombre 3 entre le "2" et le "1". On continue de la sorte pendant un certain nombre d'étapes et à chacune d'elles en partant de la gauche on insère dans tous les intervalles déterminés à l'étape précédente un nombre égal à la somme des deux nombres adjacents.
Q1 A quelle étape insère-t-on pour la dernière fois l'entier 2017 entre deux nombres adjacents? Quel est alors le nombre d'apparitions de l'entier 2017 sur l'intervalle?
Q2 Même question que précédemment avec l'entier 2016?
Q3 Si l'on s'arrête quand on a écrit un million d'entiers sur l'intervalle, quel est le nombre d'apparitions de l'entier 20000?
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Problèmes du mois
