Pour tout entier k ≥ 2 et pour les chiffres c vrariant de 2 à 9, on désigne par p(c,k) le pénultième chiffre de c^k .
Par exemple pour k = 3 et c = 7, c^k = 7³ = 343 et p(7,3) = 4.
Par convention, on retient p(2,2) = p(2,3) = p(3,2) = 0.

Q₁ Pour quelle(s) valeur(s) de c, p(c,k) garde la même parité quel que soit k ≥ 2 ?
Q₂ Pour quelle(s) valeur(s) de c, p(c,k) prend au plus deux valeurs distinctes quel que soit k ≥ 2 ?
Q₃ Déterminer les 4-uples de chiffres w, x, y, z pas nécessairement distincts tels que 2 ≤ w, x, y, z ≤ 9  et
     1000p(w,2025) + 100p(x,2025) +10p(y,2025) + p(z,2025)  = 2024
Q₄ On considère la suite S des entiers n_k définie pour k = 2,3,4... par
     Prouver que S est périodique et déterminer sa période. Déterminer la plus grande valeur et la plus petite valeur des   
     termes de S.

Plat n°1
Prouver qu’il existe une infinité de couples d’entiers strictement positifs (m,n) tels que  4²⁰²⁴ + 4^m + 4ⁿ est un carré parfait.
Plat n°2
Soit un ensemble E de 2²⁰²⁴ entiers tous strictement positifs. Prouver qu’il est toujours possible de choisir un sous-ensemble de E de 2²⁰²³ termes dont la somme est divisible par 2²⁰²³.
Plat n°3
Pour n = 1,2,3,… on considère la suite S de terme général u_n= ⌊(  )²âŒ‹ avec ⌊x⌋ qui désigne la partie entière par défaut de x. Pour quelles valeurs de l’entier k, les entiers 2024^k appartiennent-ils à S ?
Plat n°4
Pour tout entier k positif, f₁(k) désigne le carré de la somme des chiffres de k. Par exemple f₁(395) = 289.
Pour tout entier n > 1, soit f_n(k) = f₁(f_n-1(k)). Calculer f2₀₂₄(2²⁰²⁴)

Nota : Le lecteur peut choisir tout ou partie des plats proposés

Zig écrit au tableau noir une partition P des trente premiers entiers naturels 1,2,3,…,29,30 en quinze paires :
(7,22), (24,28), (11,16), (9,14),(2,23),(27,29),(5,15),(3,18),(8,13),(1,26),(12,19),(4,10),(21,30),(6,25),(17,20) et demande à Puce de choisir un entier dans chaque paire puis de calculer la somme des entiers ainsi retenus pour obtenir l’entier 229.
« Rien de plus facile » lui répond Puce.
Q₁ Confirmer la réponse de Puce en donnant une suite de 15 entiers extraits de ces 15 paires dont la somme est égale à 229.
Q₂ Prouver que Zig sait trouver une partition des trente premiers entiers naturels 1,2,3,…,29,30 en quinze paires  qui rend impossible l’obtention de l’entier 229 quels que soient les choix de Puce dans les 15 paires.
Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers positifs m et n avec m > 1. Zig établit une partition des entiers 1,2,3,…,2m – 1, 2m en m paires puis Puce choisit un entier dans chaque paire et calcule la somme des entiers ainsi choisis. Prouver que Zig peut toujours trouver une partition  de m paires qui empêche Puce d’obtenir une somme égale à n.

Soient un triangle scalène ABC, O le centre du cercle circonscrit (Γ), H l’orthocentre  et DEF le triangle orthique  dont les sommets D,E,F sont les pieds des hauteurs issues de A,B,C sur les droites [BC],[CA] et [AB].
Soient M et N les milieux respectifs de AH et de BC,
Le cercle (γ)  circonscrit au triangle AEF rencontre (Γ) en un deuxième point G,
La droite [OM] rencontre la tangente en A à (γ) au point P, la droite [AN] rencontre (γ) en Q et la droite [EF] rencontre la droite [BC] au point R.
Q₁ Démontrer que les triangles ABC et ARN ont le même orthocentre H
Q₂ Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles MBC et GNQ se rencontrent en un point de la droite [PN]

   

Diophante prépare sur la table 7 piles de jetons qui contiennent respectivement 3, 5, 11, 18, 46, 111, 161 jetons puis il invite Zig et Puce à jouer à tour de rôle. Chacun des deux joueurs prend autant de jetons qu’il veut dans une même pile (mais au moins un). Celui qui prend le dernier jeton est le perdant ⁽¹⁾.
Prouver que le joueur qui commence la partie  a une stratégie gagnante et déterminer la pile qu’il choisit au premier tour et le nombre de jetons qu’il en extrait.
⁽¹⁾Nota : il s’agit d’une variante du jeu de NIM dans lequel traditionnellement le vainqueur prend le dernier jeton.

   

Au cours de ce dernier mois d’août Blanche Neige et les sept nains ont confectionné de la gelée de mûres dans la campagne bourbonnaise. Pendant seize jours consécutifs chacun des sept nains a  ramassé des mûres ou bien confectionné de la gelée sans faire les deux opérations à la fois dans la même journée.
Le premier jour les sept nains ont tous ramassé des mûres puis pour toute paire de jours différents, pas nécessairement consécutifs, trois nains au moins ont chacun effectué les deux sortes d’opérations pendant ces deux jours.
Q₁ Prouver que pendant la période des seize jours, les sept nains ont tous consacré une journée à confectionner de la gelée.
Q₂ Sachant que lors du ramassage des mûres chaque nain a cueilli quotidiennement 1 kilogramme de fruit brut dont les trois quarts donnent du jus et qu’un pot de gelée de 375 grammes est fait  à parts égales de jus et de sucre, combien de pots de gelée de mûres ont été étiquetés par Blanche Neige ?
Source : EGMO 2013