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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1714. Un diviseur universel Imprimer Envoyer

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Démontrer que parmi quatre entiers strictement positifs distincts, on peut toujours en trouver trois, par exemple a,b et c, tels que :
a5bc3 + a3b5c + ab3c5 – (a5b3c + a3bc5 + ab5c3) est divisible par le PPCM des entiers de 1 à 10.



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A2802. Comme à l'école Palatine Imprimer Envoyer

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Mis au goût du jour, voici quatre devoirs de vacances extraits du recueil de problèmes mathématiques "Propositiones ad acuendos juvenes" d'Albinus Flaccus Alcuin (735 – 804), précepteur de Charlemagne, directeur de l'Ecole Palatine à Aix-la-Chapelle et principal artisan de la Renaissance carolingienne.
Nul doute que ces récréations aiguiseront la perspicacité des jeunes lecteurs de diophante.fr même aussi celle des plus âgés…

1er devoir [*]

Zig est un cycliste chevronné et a l'habitude de faire à bicyclette dans la journée le trajet aller-retour Vichy-Roanne qui traverse les Monts de la Madeleine à la hauteur de la Croix du Sud.
En terrain plat, sa vitesse moyenne est de 24km/h.
En terrain accidenté (hors la montée à la Croix du Sud), sa vitesse moyenne est de 18km/h à la montée et de 36km/h à la descente.
Lors de la montée à la Croix du Sud, sa vitesse moyenne est de 15km/h et passe à 60km/h dans la descente.
Il part de Vichy à 8 heures du matin, se repose pendant deux heures dès son arrivée à Roanne et par la même route qu'à l'aller il est de retour à Vichy à 16 heures.
Déterminer la distance en kilomètres qui sépare Vichy de Roanne.

2ième devoir [**]
Zig et Puce se promènent dans la même direction sur une piste forestière des Bois Noirs, le premier à pied, le second sur son VTT tandis qu’un cavalier et un conducteur d’abatteuse-ébrancheuse viennent de la direction opposée. Tous les quatre avancent à des vitesses constantes.
-    A dix heures du matin exactement, Puce dépasse Zig,
-    Après un certain intervalle de temps t1 Puce rencontre le cavalier,
-    Après un deuxième intervalle de temps t2 qui suit t1, Puce croise le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse,
-    Après un troisième intervalle de temps t3 qui suit t2, le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse rencontre Zig . Il est alors 10 heures 20 du matin.
-    Enfin après un quatrième intervalle de temps t4 qui suit t3, le cavalier se fait dépasser par le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse..
Sachant que t1 = 2t2 et t4 = 2t3 , déterminer  à quelle heure exactement Zig a rencontré le cavalier.

3ième devoir [**]
Ce matin à 8 heures, Zig, Puce et leur jument Rossinante partent en randonnée pour faire leur circuit habituel de 34 km dans la Montagne bourbonnaise.
L'un des deux amis est à pied, l’autre chevauche Rossinante dont le trot est plus rapide que la marche à pied. Au bout d'un certain temps le cavalier descend de cheval et poursuit sa route à pied tandis que Rossinante fait demi-tour pour retrouver le marcheur. Celui-ci monte alors à cheval .
Ce manège où chacun des deux amis poursuit son chemin à pied tandis que l'autre chevauche Rossinante revenue à sa rencontre peut se répéter autant de fois qu'ils le décident.
Quand ils sont à pied, Zig et Puce se déplacent à des vitesses constantes, respectivement égales à 6km/h et 4km/h. Quand Rossinante est  seule ou chevauchée par l'un des deux amis, son trot est constant (12km/h).
Zig et Puce souhaitent être de retour l’un et l’autre avant midi au plus tard. Est-ce possible? Si oui, à quelle heure? Si non, quelle devrait être la vitesse de Puce (en km/h arrondie à l’entier le plus proche) pour qu’il en soit ainsi?

4ième devoir [***]
Zig et Puce font un aller-retour sur la Sioule en canoë-kayak de la bourgade de Saint Pourçain au village de Bayet. A l'aller, ils sont à contre-courant.
Le départ est fixé à 10 heures du matin. Quelques instants plus tard, Puce perd sa caquette mais ne s'en aperçoit pas tout de suite. Quand il s’en rend compte, Puce plonge dans la rivière à la recherche de sa casquette.
Comme prévu, Zig arrive à Bayet à 11 heures et fait immédiatement demi-tour.
Zig revient au point  de départ  de Saint Pourçain au moment même où Puce retrouve sa casquette.
Zig fait alors le calcul que s’il avait fait demi-tour juste après avoir constaté la disparition de la casquette sans aller jusqu’à Bayet, la casquette aurait été récupérée à 1800 mètres de Saint Pourçain.
Sachant que la vitesse de déplacement (hors courant) de Zig sur le canoë-kayak, la vitesse de Puce à la nage (hors courant) , la vitesse du courant sont des constantes qui s'expriment en nombres entiers de kilomètres par heure, déterminer la distance qui sépare les deux villages et l'heure de retour des deux amis.



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A379. Joliment moyennés Imprimer Envoyer

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Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique,harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q1 Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.
Q2 Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q3 Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés.En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q4 Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019.



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A4918. Diophantienne et exponentielle Imprimer Envoyer

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Déterminer tous les triplets d’entiers (x,y,z) ≥ 0  tels que 2x.3y + 1 = 7z.



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A5906. A un chouïa près Imprimer Envoyer

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Déterminez le plus grand des deux termes : a5906
Justifiez votre réponse.

Nota : il s’agit d’un problème posé en 2018 aux olympiades bulgares de mathématiques. Bien entendu les candidats n’avaient à leur disposition ni table de logarithmes, ni calculette, ni tableur ni un quelconque automate programmable.



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D1843. Un bel alignement Imprimer Envoyer

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Soit un triangle scalène ABC. Le cercle de centre C et de rayon CA coupe la droite [AB] en un deuxième point D et le cercle de centre B et de rayon BA coupe la droite [AC] en un deuxième point E.
On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que la droite  [PE] coupe ce même cercle en un deuxième point G.
Les droites [BF] et [CG] se rencontrent en H, les droites [DE] et [FG] se rencontrent en I et les droites [AG] et [EH] se rencontrent en J.
Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Q₂ Démontrer que les trois points B,I et J sont alignés.



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D2908. Une perle de Victor Thébault Imprimer Envoyer

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On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A1,A2,...,Ak.
Soient O1 la point symétrique de O par rapport à la corde A1Ak-1 et O2 le symétrique de O par rapport à la corde A2A6.
O1O2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).
Déterminer k.



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G184. Alea jacta est Imprimer Envoyer

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Puce teste sur son vieux PC la fonction Alea() qui permet de générer des nombres aléatoires sur un intervalle donné. Ayant choisi deux entiers a et b avec a multiple de b (a = kb, k > 1), ,il souhaite estimer Pr{XY ≤ b2}, c'est-à-dire la probabilité que le produit de deux variables aléatoires réelles indépendantes X et Y choisies au hasard sur l’intervalle [0,a], soit inférieur ou égal à b2. Pour ce faire, dans une boucle « for...next » comportant un million d’itérations, il recense le nombre de fois N que le produit de deux nombres générés à partir de la fonction Alea() sur cet intervalle [0,a] est inférieur ou égal à b2. Il obtient
N = 596489.
Q1 Déterminez l’entier k.
Q2 Puce choisit les deux variables indépendantes X et Y sur l’intervalle [0,2a] et garde le même seuil b2. Toujours avec un million d’itérations, déterminez un intervalle de confiance (ave un seuil de 95%) à l’intérieur duquel l’estimation de Pr{XY ≤ b2} doit logiquement s’afficher sur l’écran de son ordinateur.
Q₃ Puce introduit une nouvelle variable Z telle que les trois variables X,Y, et Z sont indépendantes entre elles et sont définies sur l’intervalle [0,a].Calculez Pr{ XYZ ≤ b3} et vérifiez que votre ordinateur confirme votre résultat



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G2946. La tour et ses ascenseurs Imprimer Envoyer

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Dans une tour de N niveaux, il y a sept ascenseurs qui s’arrêtent chacun à six niveaux seulement. Cependant, pour deux niveaux distincts il est toujours possible de les relier à l’aide d’un seul ascenseur.
Déterminer la valeur maximale de N qui respecte cette condition et pour cette valeur donner un schéma de desserte des ascenseurs selon les niveaux.




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H155. Au festival des Monts de la Madeleine Imprimer Envoyer

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Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts.
N est le plus petit entier  qui permet la programmation suivante:
-    quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,
-    tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.
 Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts.



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