Pb₁ Déterminer le plus petit entier n tel que l’équation 1/x + 1/y = 1/n a exactement 2025 couples d’entiers positifs (x,y) pour solutions. 

Pb₂ Pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 2025, on recherche les couples d’entiers positifs (x,y) telles que 1/x + 1/y = k/2025.
Q₁ Quel que soit k, existe-t-il toujours au moins un couple (x,y) ?
Q₂ Déterminer la ou les valeurs de k qui maximisent le nombre de couples (x,y) et fournir la liste des couples possibles pour chacune de ces valeurs.

Nota : les deux problèmes Pb₁ et Pb₂ sont indépendants et dans Pb₁ on ne demande pas la liste des 2025 couples mais simplement la preuve de leur existence

Zig aime filouter les équations : il écrit des équations avec des racines carrées où a,b,c,d sont des entiers relatifs non nuls et deux à deux distincts.
                                                                           
On dit que l’équation est filoute si, après avoir effacé les radicaux mais conservé la suite des signes (ici « + » puis deux fois « − »), on obtient l’équation linéaire ax + b – cx – d = 1 et que la solution entière de cette équation est aussi une solution entière de l’équation avec racines⁽¹⁾.
Q₁ Trouver tous les quadruplets (a,b,c,d) avec 1 ≤ b < 2025, c = 2025 tels que les équations filoutes correspondantes admettent toujours 2024 pour solution entière. 
Q₂ Trouver 5 quadruplets (a,b,c,d) tels que les équations filoutes correspondantes admettent pour solutions entières un ensemble de 5 entiers consécutifs.
Q₃ Déduire une formule générale qui donne pour tout m ≥ 1et tout départ convenable N, une famille de m quadruplets donnant exactement m solutions entières consécutives N,N+1,…,N + m − 1. 
⁽¹⁾ Nota : c’est la filouterie avec l’effacement trompeur qui conserve la bonne solution entière.  
  

Q₁ Montrer qu’on sait trouver une expression algébrique⁽¹⁾ qui respecte les quatre conditions :
- le chiffre 7 apparaît trois fois exactement à l'exclusion de tout autre chiffre et des nombres transcendants ou complexes tels que π (pi), e (nombre d'Euler), i tel que i² = 1 etc...
- elle fait intervenir au moins une fois chacun des symboles mathématiques : / (division), √(racine carrée) et Ln(logarithme népérien) à l'exclusion de tout autre symbole tels que somme ∑, produit ∏, partie entière par défaut ou par excès [..] , intégrale simple ∫, factorielle !….
- elle utilise les signes "+" et " - " ainsi que les parenthèses (... ) en tant que de besoin.
- elle est égale à 31.

Q₂ Prouver qu’on sait trouver au moins 22 entiers strictement positifs et inférieurs à 100 qui peuvent s’exprimer de la même manière que 31.

⁽¹⁾Par exemple (√7+Ln(7))/7 = 0,6559516… est une expression mathématique qui respecte exactement les trois premières conditions

La semaine dernière, du lundi au jeudi, Zig a assisté à quatre séances de cinéma et à chacune d’elles il a eu la curiosité de recenser les nombres de personnes devant lui et derrière lui dans la queue qui attendait l’ouverture de la salle. Il a constaté que les proportions⁽¹⁾ des personnes devant lui au cours de ces quatre jours étaient constantes et que celles⁽¹⁾ des personnes derrière lui se ramenaient à des fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/k, 1/(k+1),1/(k+2),1/(k+3). La première séance était celle d’un film à succès mais la queue ne dépassait pas 200 mètres de long.
Déterminer les nombres de personnes qui ont assisté à chacune des quatre séances et le rang qu’occupait Zig dans chacune des queues.
Pour les plus courageux : prouver que quel que soit le nombre n de journées consécutives, il existe n queues (sans contrainte sur leurs longueurs) telles que les proportions des personnes devant Zig au cours de ces n journées sont constantes et celles des personnes derrière lui se ramènent à n fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/(k+i) pour i = 0 to n-1.

⁽¹⁾ calculées par rapport au nombre total de personnes dans chaque queue.

Zig découpe la circonférence d’un cercle en 2025 arcs contigus dont 675 de longueur 1, 675 de longueur 2 et 675 de longueur 3. Prouver que quel que soit l'ordre selon lequel Zig trace ces arcs, au moins deux extrémités d'arc sont diamétralement opposées. 

Zig a préparé une série de problèmes mathématiques extraits des archives de diophante.fr qu’il soumet aux différents modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile.
Il fait le constat suivant: chaque modèle résout au moins trois problèmes et pour chaque paire de modèles, il existe exactement un problème qu’ils résolvent tous les deux. Par ailleurs pour chaque paire de problèmes, il existe au moins un modèle qui résout les deux.
Sachant qu’un des modèles résout quatre problèmes, combien y a-t-il de problèmes préparés par Zig et de modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile