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Pour un entier k donné > 1, on s'intéresse à tout ensemble Ek de k entiers naturels distincts strictement positifs dont le produit est multiple de toutes les sommes de ces mêmes entiers pris deux à deux.
Par exemple pour k = 2, l'ensemble E2 ={3,6} convient car 3*6 = 18 = 2*(3+6).
Q₁ Démontrer que quel que soit k, il est toujours possible de constituer un tel ensemble.
Q₂ Trouver un ensemble E12 de 12 termes dont le plus grand est strictement inférieur à 48.
Q₃ Trouver un ensemble Ek qui a au moins 48 termes et dont la somme des termes est égale à 4802.
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Ce vase en verre de Murano a pour vide intérieur un prisme droit à base carrée de 12 cm de côté et de 48 cm de hauteur.La face supérieure est ouverte.Le fond et les parois latérales sont de même épaisseur.
Quand il est rempli au tiers d'eau, le vase est le plus stable possible, c'est à dire que son centre de gravité est le plus bas possible.
Q₁ Déterminer le poids du vase vide.
Q₂ On penche légèrement le vase rempli au tiers selon l'une des arêtes du fond carré. Par rapport au plan de la table,le niveau de l'eau va-t-il rester stable ou monter ou baisser?
Q₃ On penche le vase jusqu'à ce que l'eau déborde.Déterminer la courbe du niveau de l'eau par rapport au plan de la table en fonction de l'angle d'inclinaison du vase.
Pour les plus courageux: même problème avec un vase cylindrique de hauteur intérieure de 48 cm et de base circulaire de 12 cm de diamètre.
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Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair.
Q1 Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 106 et divisibles respectivement par les puissances successives de 2: 2 à 210.
Q2 Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n .
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Le logarithme en base x (nombre entier) de l'entier N est défini par logxN = log10N/log10x. Par commodité, on l'écrit sous la forme logxN = log[{x}N].
De la même manière, a étant un nombre entier, on écrit la puissance d'ordre a de 10 = 10a sous la forme 10^a.
On considère l'entier "stratosphérique" N = 10^[10^[10^k]] avec k entier positif.
On revient sur terre en calculant la fraction irréductible F = log[{log[{log[{10}N]}N]}N]. La somme des chiffres du numérateur et du dénominateur de F est égale à 264. Déterminer k
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Soit un triangle acutangle ABC ayant H pour orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC. Un cercle passant par les points B et C et le cercle de diamètre AH se coupent en deux points distincts X et Y. Le point D se projette en K sur la droite XY. Démontrer que la droite DK est la bissectrice de l'angle BKC.
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Peut-on avoir six points A,B,C,D,E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD = 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF = BE = 451?
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A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau. Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée?
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Que je lance m dés à 6 faces ou n dés à 6 faces avec 1 ≤ m < n ≤ 8, je constate que j'ai la même probabilité p d'obtenir une certaine somme S des numéros des dés. Déterminer m,n,S et p.
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Déterminer la plus grande valeur possible de l'entier N tel qu'en choisissant 1227 entiers distincts parmi les entiers {1,2,3,....N},on sait toujours trouver deux d'entre eux dont le produit est un carré parfait.
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Problèmes du mois
