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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes du mois
A1707. La tache d'encre Imprimer Envoyer

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Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
«  Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) =  A1707  avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).



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A2834. Une limite singulière Imprimer Envoyer

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A2834

Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points B0,B1,B2,B3,…Bn les uns à la suite des autres de sorte que la ligne brisée B0A0B1A1B2A2B3A3….BnAn délimite les 2n + 1 triangles OA0B0, B0A0B1, A0B1A1, B1A1B2,…., An-1BnAn qui ont tous la même aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)

Déterminer la limite de OBn /OAn quand n tend vers l’infini.



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A380. A la manière de Sophie(1) Imprimer Envoyer

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Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ n2020 +1 ?
Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres:
163 840 001 601,
50 629,
656 829 000 901,
216 145 087,
99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau  99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.
(1)Nota : Sophie Germain, mathématicienne, (1776-1831).



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D2919. Le pentagone passe la main au parallélogramme Imprimer Envoyer

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On considère un pentagone convexe ABCDE avec les égalités d’angles  D2919BCD =  D2919ADE d’une part et 
D2919BDC =  D2919AED d’autre part.
Le cercle circonscrit au triangle CDE rencontre les droites [DA] et [DB] pour la deuxième fois aux points P et Q respectivement. Les droites [CP] et [EQ] se rencontrent au point X.
Démontrer que le quadrilatère ADBX est un parallélogramme.



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G1909. Une convexité très probable? Imprimer Envoyer

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G1909
On choisit au hasard quatre points A,B,C,D indépendamment les uns des autres, dans les  quadrants respectifs Nord Ouest, Nord Est, Sud Est et Sud Ouest d’un carré dont les sommets ont pour coordonnées (–1,1), (1,1),(1, –1) et (–1, –1)
Est-il exact que la probabilité que le quadrilatère ABCD soit convexe est supérieure à 90% ?





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I133. L'arbre qui cache l'horizon Imprimer Envoyer

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Dans une grande forêt de résineux sur terrain plat, Zig est assis sur la souche d’un arbre prise pour origine. Toute la forêt est plantée d’arbres assimilés à des colonnes cylindriques dont les axes passent par les points de coordonnées entières exprimées en mètres : (5i,5j) avec i et j entiers relatifs quelconques, i ou j non nul. Dans le quadrant Nord-Est y compris les demi-axes Ox et Oy, les arbres sont des douglas de  diamètre 40 centimètres. Dans le reste de la forêt les arbres sont des mélèzes plus jeunes.
Q1 Démontrer que quel que soit le quadrant où Zig porte son regard, l’horizon est bouché.
Q2 Déterminer les limites de cet horizon dans le quadrant Nord-Est.
Q3 Un capteur de distances indique à Zig que le  mélèze le plus éloigné lui bouchant l’horizon est à 475  mètres. Calculer le diamètre des mélèzes.



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