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La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Q1 Déterminer toutes les solutions des équations :
1ère équation : phi(n) = 32, 2ème équation : phi(n) = 256,3ème équation : phi(n) = 1024 [***]
Q2 Pour les très courageux : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2m [*****]
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Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Nota:le dénombrement des facteurs premiers d'un entier ne prend pas en compte les puissances de ces facteurs. Par exemple 360 = 23.32.5 a trois facteurs premiers : 2,3 et 5
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Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiers a1,a2,a3, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 et b1,b2,b3, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois derniers est égal à la somme des trois premiers.
Q2 Déterminer tous les octuplets d’entiers a1,a2,a3,a4, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ 1 et b1,b2,b3,b4, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ b4 ≥ 1 tels que le produit des quatre premiers est égal à la somme des quatre derniers et le produit des quatre derniers est égal à la somme des quatre premiers.
Q3 Démontrer que quel que soit n ≥ 3, on sait trouver au moins cinq 2n-uplets d’entiers ai ≥ 1 (i = 1 à n) et bi ≥ 1 (i = 1 à n) tels que le produit des n premiers est égal à la somme des n derniers et le produit des n derniers est égal à la somme des n premiers.
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Q1 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation(1) de deux carrés parfaits >0 [*]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0 [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0 [***]
(1) Nota : Par exemple la concaténation de 1=12 et de 36= 62 donne l’entier 136. Aucun carré parfait utilisé pour la concaténation, ne commence par un zéro
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Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection.Justifiez votre réponse.
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Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue de A. Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire en A au segment AM coupe la droite [BC] au point N. La droite [MO1] coupe le cercle de diamètre MN et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P.
Déterminer les lieux des points P et O3 quand M parcourt la droite [BC].
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A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.
A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).
A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.
On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.
Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).
Q2 On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.
Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.
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Diophante choisit un entier n puis Zig et Puce s’adonnent à une joute de calcul mental qui obéit aux règles suivantes :
1) Le premier joueur annonce un nombre pair inférieur ou égal à n,
2) A tour de rôle chaque joueur doit annoncer un nombre parmi les multiples et les diviseurs du nombre choisi par son adversaire et inférieur ou égal à n,
3) Un nombre ne peut être prononcé qu’une seule fois.
Le perdant est le joueur qui ne trouve plus de multiples ou de diviseurs du nombre précédemment choisi.
Diophante choisit successivement les valeurs n = 20,50,100,120,1000,2020 pour six parties consécutives n°1,2,3,4,5,6. Zig joue en premier dans les parties n°1,3,5 et Puce en premier dans les parties n°2,4,6.
On suppose qu’au premier tour de chaque partie, Zig comme Puce choisissent l’entier pair qui optimise leurs chances de gain et qu’aux tours suivants l’un et l’autre jouent au mieux en vue de ne pas être le perdant.
Déterminer les vainqueurs des six parties.
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Zig annonce à Puce : « J’ai classé selon mon bon vouloir les entiers naturels allant de 1 à un million en deux catégories : les bons et les mauvais ».
Puce : « Comment puis-je savoir si un entier n quelconque est bon ou mauvais »
Zig (à la manière de la Pythie de Delphes) : « Je ne répondrai jamais directement sur la nature de ce nombre n. Pour tout entier k que tu choisis, distinct ou non de n, la seule question que tu pourras me poser sera de la forme : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l’entier k ?
En réponse, je te donnerai cette somme.
Supposons, juste à titre d’exemple, que j’ai décidé que 1 et 6 sont bons et que 2 et 3 sont mauvais et supposons que tu choisisses k = 6, à la question : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de 6, ma réponse serait 7.
En posant autant de questions que tu le souhaites avec des entiers k de ton choix, tu dois parvenir à identifier la nature de l’entier n que tu as initialement choisi. »
Q1 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n avec lesquels une seule question permet à Puce de savoir s’ils sont bons ou mauvais.
Q2 Puce peut-il savoir en une seule question si l’entier 2019 est bon ou mauvais ? si l’entier 2020 est bon ou mauvais ?
Q3 Trouver un entier n > 2020 pour lequel Puce doit poser deux questions afin de connaître sa nature.
Q4 Trouver un entier n, si possible le plus petit, pour lequel Puce doit poser trois questions afin de connaître sa nature.
Q5 Démontrer que pour tout n inférieur ou égal à un million, Puce peut connaître sa nature en posant quatre questions au plus.
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Zig fait comme Dédé le petit cochon de la Française des Jeux qui joue au jeu de l’oie en grattant des dés.
Au prix de 8 €, il achète un ticket sur lequel figurent 12 dés à gratter et il gratte autant de dés qu’il le souhaite, chaque dé faisant apparaître l’un quelconque des numéros de 1 à 6 avec la même probabilité. Si le numéro 1 n’apparaît pas, Zig récupère en euros la somme des numéros grattés. A l’inverse, il a perdu.
Existe-t-il un nombre de cases à gratter qui lui permet d’optimiser son espérance de gain (ou de réduire son espérance de perte) ?
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Problèmes du mois
