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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A2982. Un trio bien camouflé Imprimer Envoyer

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Déterminer trois  entiers impairs a, b et c qui ont les caractéristiques suivantes:
- a < b < c < 50 000,
- chacun est le produit d'un même nombre de nombres premiers distincts,
- il y a 8 manières différentes de  représenter chacun comme la différence de carrés d'entiers strictement positifs,
- tous les trois forment une progression arithmétique de raison 1034..



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A490. Des restes à (con)sommer Imprimer Envoyer

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Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)3 par k3 est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,
Q1 la somme des restes des divisions de (k + 1)2 par k2 ?
Q2 la somme des restes des divisions de (k + 1)4 par k4 ?

Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.



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A589. Des écarts a minima Imprimer Envoyer

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Q1 Déterminer la valeur minimale positive de 12m − 5n pour m et n entiers strictement positifs.
Q2 Déterminer le plus petit écart en valeur absolue entre 2m et 181n pour m et m entiers strictement positifs.
Q3 Déterminer les nombres premiers p et q  et les entiers m et n ≥ 2 tels que l'écart en valeur absolue entre pm et qn est égal à 1.
Nota: les trois questions sont indépendantes.



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D1827. La saga des dichotomies (3ème épisode) Imprimer Envoyer

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Soit un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC qui admet (Γ) pour cercle circonscrit de centre O.
Les tangentes au cercle (Γ) aux points B et C se rencontrent au point D.
La droite AO coupe la droite BC au point E.
M étant le milieu de BC, on trace la droite AM qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point N.
Le cercle circonscrit au triangle AME coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F distinct de A.
Démontrer que la droite FN coupe le segment MD en son milieu.



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E694. Les marques rouges Imprimer Envoyer

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Au départ un petit cercle (γ) de circonférence égale à l'unité est tangent à un grand cercle fixe (Γ) de circonférence égale à √2.
Chacun porte un point rouge : P1 sur (Γ) et Q1 sur (γ) confondus avec le point de tangence. Le cercle (γ) entame alors plusieurs révolutions autour de (Γ) en roulant dans le sens horaire le long de la circonférence de ce cercle. Lorsque le point Q1 rencontre à nouveau la circonférence de (Γ), il laisse la marque rouge P2 sur (Γ) puis lorsque (γ) atteint le sommet P1 à l'issue d'une première révolution, P1 laisse la marque Q2 sur (γ) et ainsi de suite...Tout point rouge Pi  de (Γ) laisse une marque rouge sur (γ) quand ce dernier passe par ce point Pi de même que tout point rouge Qj de (γ) laisse une marque rouge sur (Γ) quand ce point Qj  rencontre ce cercle.
 E694
A l'issue de k révolutions de (γ) autour de (Γ), on recense exactement 2017 points rouges distincts sur (Γ). Déterminer la valeur de k.



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G2926. Irrationnels rationnellement bordés Imprimer Envoyer

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On recense 2017 paires d'entiers strictement positifs (m,n), l'un et l'autre inférieurs ou égaux à un certain entier k tels que:

n / (m + 1) < √2  < (n + 1) / m
Q1 Déterminer k
Q2 Pour cette valeur de k, en déduire le nombre de paires d'entiers strictement positifs (p,q) tels que :
q / (p + 1) <√3 < (q + 1) / p

Nota √2 = racine(2) et √3 = racine(3)



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