Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d₁ < d₂ < d₃ < …< d_k = n. Le socle s_n de l’entier n est égal à  la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit s_n = d₁d₂ + d₂d₃ + …+ d_k-1d_k.
On pose r_n = s_n/n²
Q₁ Prouver que r_n < 1  pour tout n ≥ 2.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n tel que r_n > 0.95
Q₃ Déterminer les entiers n tels que s_n est un diviseur de n².
Q₄ Prouver que quels que soient i et j entiers  r_2i > r_{2j + 1}  
Q₅ Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que r_p – r_q < 1/30
Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow

L’entier n contient trois zéros consécutifs encadrés par deux chiffres distincts de zéro à l’exclusion de tout autre chiffre zéro. En supprimant les trois zéros on obtient un entier m.
Par exemple n = 1 230 004 567, m = 1 234 567.
On s’intéresse aux entiers n qui sont des  multiples entiers k de m.
Q₁ Déterminer le plus petit entier n
Q₂ Déterminer le plus petit entier n à six chiffres.
Q₃ Déterminer le plus petit entier n à sept chiffres.
Q₄ Déterminer la plus petite valeur possible de k et le plus petit entier n correspondant.

   

Zig trace sur une feuille de format A4:
 - deux droites parallèles Δ₁ et Δ₂, distantes de 3 cm, Δ₁ au-dessus de Δ₂.
 - deux points fixes distincts D et C dans cet ordre sur Δ₂,distants de 6 cm.
 - les points courants A et B sur Δ₁ tel que les points A,B,C,D pris dans le sens horaire forment un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent au point M,
 - le cercle circonscrit au triangle ABM qui coupe la droite [AD] au point P distinct de A,
 - le cercle circonscrit au triangle PMD qui coupe la droite [BP] au point Q distinct de P.
Déterminer le lieu de Q quand A et B parcourent la droite Δ₁.

   

Prouver qu’il existe deux fractions rationnelles irréductibles a/b et c/d telles que :
1) arctan(a/b) = π/4 + arctan(17/31)  −  arctan(13/9)
2) arctan(c/d) = arctan(5/4) + arctan(8/11) + arctan(1/3) – arctan(7/5) – arctan(6/13)
Tracer à la règle et au compas deux figures illustrant ces deux relations.
Nota : arctan(x) désigne l’arc exprimé en radian dont la tangente est égale à x.

    

Dans un désert il y a des serpents, des souris et des scorpions.
Chaque jour :
- à 6 heures du matin, chaque serpent mange une souris,
- à midi chaque scorpion pique un serpent (et ça ne pardonne pas)
- à 18 heures chaque souris mange un scorpion.
Le mercredi 26 mars 2025 dans la journée, on a pu observer la présence d’un nombre total N de 2025 animaux, (serpents, scorpions et souris confondus).
Le dimanche 30 mars 2025 en fin de journée, le nombre total d’animaux n était un diviseur de N et chaque espèce était représentée.
Q₁ Combien y avait-il de souris en cette fin de journée du 30 mars 2025  ?
Q₂ Combien y avait-il de scorpions le mercredi 26 mars 2025 en début de journée ?
Q₃ Combien y avait-il de serpents le dimanche 23 mars 2025 en milieu de journée?
Q₄ Le 31 mars 2025 quels étaient les animaux survivants?
Source : d’après un problème du rallye mathématique de Bourgogne 1999  diffusé dans la revue Tangente Hors série n°93

   

Formica la fourmi et Arachné l’araignée sont installées au sommet de deux luminaires suspendus au plafond,
Formica au point A d’un icosaèdre régulier de 15 cm de côté et Arachné au centre C de la face supérieure horizontale d’un dodécaèdre régulier de même côté que l’icosaèdre (voir figures ci-après)
                                                                
Elles décident de faire une course de vitesse, Formica allant de A en B point le plus bas du luminaire  à la vitesse de 2 millimètres par seconde et Arachné allant de C en D au centre de la face inférieure du dodécaèdre à la vitesse de 3 millimètres par seconde.
Elles partent de A et de C au même moment. Qui gagne la course ?
Nota : on suppose que Formica comme Arachné se moquent des lois de la pesanteur et restent accrochées aux faces des deux luminaires quelles que soient leurs positions.