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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1700. Des carrés en cascade Imprimer Envoyer

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Soit un entier strictement positif duquel on retranche le carré de la partie entière de sa racine carrée.
A partir de l'entier ainsi obtenu, on poursuit l'opération jusqu'à faire apparaître pour la première fois l'entier 0.
Q1 Déterminer le plus petit entier m avec lequel il est nécessaire de réaliser l'opération neuf fois de suite pour obtenir 0.
Q2 Déterminer le nombre de chiffres du plus petit entier n avec lequel il est nécessaire de réaliser l'opération quinze fois de suite pour obtenir 0.



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A2992 Le cancre irréductible Imprimer Envoyer

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Diophante écrit au tableau noir trois fractions rationnelles strictement positives qui ont les propriétés (P) suivantes : elles sont irréductibles, leurs dénominateurs sont strictement inférieurs à 1000000 (un million) et deux numérateurs sur les trois sont des nombres premiers.
Diophante demande à Zig et à Puce d'en calculer la somme S.
Zig fait sagement ses calculs et obtient S = 1.
De son côté Puce persiste à rester le cancre de la classe et calcule S en rapportant la somme des trois numérateurs à la somme des trois dénominateurs.Il obtient la plus petite fraction f que l'on peut calculer selon sa méthode à partir de trois fractions rationnelles strictement positives qui ont les propriétés (P) et de somme égale à 1.
 Déterminer f sous sa forme irréductible et les trois fractions choisies par Diophante.



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A598. Deux millésimes au microscope Imprimer Envoyer

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Soit un entier n > 1.
On pose a = a598a  et b = a598b .
Q1 Démontrer que, pour tout n, les deux nombres a et b sont dans l'intervalle ouvert ]0,1[ et que l'un des deux termes est toujours plus grand que l'autre.
Q2 Démontrer qu'il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles l'entier formé par les quatre premiers chiffres significatifs non nuls de a est égal à 2018. Déterminer la plus petite valeur possible de n.Même question avec b.
Q3 Démontrer qu'il existe au moins une valeur de n pour laquelle les deux entiers formés par les quatre premiers chiffres significatifs non nuls des deux termes sont égaux à 2017 et 2018. Déterminer la plus petite valeur possible de n.
Q4 Démontrer qu'il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles les entiers formés par les quatre premiers chiffres significatifs non nuls de l'écart en valeur absolue entre les deux termes a et b sont égaux à 2018. Déterminer la plus petite valeur possible de n.



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D1836. Aux couleurs belges Imprimer Envoyer

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Soit un triangle acutangle ABC (A,B et C dans le sens trigonométrique) tel que AB = c < BC = a < CA = b. Les points O et I sont respectivement le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.
On trace:
-  les deux cercles de centre A et de rayons b et c qui coupent respectivement la droite AB au point P ( B entre A et P) et la droite CA au point Q ( Q entre A et C),
-  les deux cercles de centre B et de rayons c et a qui coupent respectivement la droite BC au point  R (R entre B et C) et la droite AB au point S ( A entre B et S),
-  les deux cercles de centre C et de rayons a et b qui coupent respectivement la droite CA au point T ( T entre A et C) et la droite BC au point U ( B entre U et C).
Q1 Démontrer que les trois droites aux couleurs belges, PU en noir, ST en jaune et QR en rouge sont parallèles entre elles et qu'elles sont perpendiculaires à la droite OI.
Q2 On suppose que OI = QR. Déterminer l'angle en C.



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G2937. Mises entre parenthèses Imprimer Envoyer

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Le signe "/" désignant la division,on considère l'expression E = p1 / p2 / p3 /..../ pn  qui contient n nombres premiers distincts p1, p2, p3,...., pn dans un ordre fixé . On place dans E des parenthèses (..) qui indiquent l'ordre dans lequel les nombres sont divisés de sorte que le résultat obtenu est une fraction rationnelle fi (i = 1,2,...) *.
Q1 Déterminer en fonction de n le nombre k de fractions distinctes obtenues avec tous les arrangements possibles des parenthèses.
Q2 On considère l'expression E avec les sept nombres premiers 2,3,5,7,11,13 et 17 pas nécessairement pris dans cet ordre et on classe par ordre croissant toutes les fractions rationnelles distinctes que l'on peut obtenir: f1,f2,f3...,fi,....fk.
Montrer qu'il existe un arrangement des sept nombres dans E qui satisfait dans cet ordre les deux conditions suivantes:
- il existe une fraction fi de la forme Ni / Di avec Ni et Di entiers tels que Ni − Di = 1,
- le rapport r = fk /f1 est le plus grand possible.
Donner la valeur correspondante de r ainsi qu'une écriture de E avec les parenthèses dont le résultat est fi.
Déterminer le nombre d'expressions E qui satisfont les deux conditions.

 *Par exemple,pour n = 3, p1 = 3, p2 = 13 et p3 = 2, on a l'expression E = 3/13/2 dans laquelle il y a deux manières de placer les parenthèses qui permettent d'obtenir : f1 =  (3/13)/2 = 3/26 et f2 = 3/(13/2) = 6/13.




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I165. Un billard à trois bandes Imprimer Envoyer

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Une table de billard a la forme d'un triangle équilatéral ABC d'un mètre de côté.
 i165
On place une boule (assimilée à un point) en un point D du côté BC à 10 cm de B.
La frappe de la boule se fait selon un angle inférieur à 90° mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à la droite BC.
On s'intéresse aux seules trajectoires de la boule qui rebondit sur les côtés du triangle selon la loi classique de la réflexion avant de revenir pour la première fois à son point de départ D.
Q1 Déterminer les trajectoires distinctes qui ont exactement 21 mètres de longueur. Pour chacune d'elles, donner l'angle de frappe et le nombre de rebonds* de la boule.
Q2 Une nouvelle frappe de la boule donne  90 rebonds*  avec une longueur de la trajectoire qui s'exprime encore en un nombre entier de mètres. Déterminer la ou les trajectoires correspondantes (longueur, angle de frappe)
*Nota: tout  rebond correspond au changement de direction de la boule en un point intermédiaire de sa trajectoire L'arrivée en D compte pour un rebond mais pas le départ de D.



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