Pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, on s’intéresse aux collections de nombres premiers (pas nécessairement distincts) qui ont la propriété (P_k) suivante : le produit de leurs termes vaut k fois leur somme.
Q₁ Trouver une collection qui contient au moins cinq nombres premiers distincts et possède la propriété P_k avec l’entier k le plus petit possible.
Q₂ Prouver qu’il existe une seule collection qui a la propriété P₁₀.
Q₃ Déterminer toutes les collections qui ont la propriété P₄₄.
Q₄ [avec l’aide éventuelle d’un automate] : Existe-t-il un entier k tel que l’on sait trouver quatre collections différentes de nombres premiers pas nécessairement distincts dont le produit des termes vaut k fois la somme ? Même question avec cinq collections distinctes.

   

Zig remplit sur le tableau noir sept colonnes de nombres entiers. La première colonne contient une progression arithmétique strictement croissante lue de haut en bas et aucun terme n'est nul. Les colonnes n°i, i variant de 2 à 7,s’obtiennent respectivement en ajoutant le même entier strictement positif n_i à chacun des termes de la première. Les six entiers n_i sont distincts.
Puce toujours aussi doué en calcul mental observe, ô mathmagie, que la somme des valeurs absolues des termes de chaque colonne prend la même valeur 175 dans les sept colonnes.
Déterminer les termes de la première colonne et les valeurs des  n_i prises dans un ordre croissant.

    

Q₁ Déterminer dans chacun des cas suivants le plus grand entier k tel que :
1) k divise n¹³ – n pour tout entier n positif,
2) k divise n¹⁷ – n pour tout entier n positif,
3) k divise n³⁷ – n pour tout entier n positif.

Q₂ Déterminer le plus petit nombre premier p tel que pour tout entier n positif, l’entier n^p – n est divisible par un entier > 10¹².

Q₃ Pour les plus courageux: en utilisant les notations de Donald Knuth, on désigne par  n↑↑k = n^(n^(n^…^n))) avec n écrit k+1 fois. Par exemple n↑↑1 = n^n et n↑↑2 = n^(n^n).
Trouver le plus petit entier k tel que pour tout n strictement positif,  n↑↑k ‒ n↑↑(k – 1) est divisible par 2023.

   

Sur deux demi-droites A₀X et A₀Y formant un angle aigu a (entier exprimé en degrés), Zig trace une suite de points A₁, A₂, A₃,…A_i…A_n tels que les points d’indice impair sont sur A₀X et ceux d’indice pair sur A₀Y.
Par ailleurs tous les segments A_i-1A_i, i = 1 à n, sont de même longueur = 2 cm, les distances A₀A_2j-1 pour
j = 1,2,…forment une suite strictement croissante sur A₀X ainsi que les distances A₀A_2j sur A₀Y.
                                   
Zig arrête le tracé du zigzag au point A_n quand il constate que le (n+1)ième point susceptible d’être tracé est confondu avec le point A_n-1 ou marque un rebroussement avec A₀A_n+1 < A₀A_n-1.
A un certain moment du tracé, trois points successifs A_i-1, A_i et A_i+1 sont les sommets d’un triangle équilatéral et avec neuf points de plus (A_i+2 à A_i+10) le zigzag se termine par un segment perpendiculaire à l’une des demi-droites (A_i+11 coïnciderait avec A_i+9) .
Puce de son côté opère de la même manière que Zig avec deux demi-droites formant un angle aigu b = 3a et les segments de son zigzag sont deux fois plus longs que ceux de Zig.
Déterminer la longueur du zigzag tracé par Puce.

   

Zig le magicien et son assistant Puce présentent le tour de cartes suivant.
Zig sort de la pièce. Puce prend un jeu de 100 cartes numérotées de 1 à 100 et demande à trois spectateurs de choisir à tour de rôle une carte chacun. Puce voit les trois cartes prises par chacun d’eux puis ajoute une autre carte du reste du paquet. Les spectateurs mélangent ces quatre cartes, font revenir Zig et lui donnent les quatre cartes. Zig les examine et "devine" quelle carte a été choisie par le premier spectateur, quelle carte par le second et quelle carte par le troisième.
Prouver que Zig avec l’aide de Puce peut toujours exécuter ce tour avec succès.

   

Neuf boules numérotées de 1 à 9 sont réparties au hasard trois par trois dans trois urnes distinctes.
Q₁ Calculer la probabilité p₁ qu’il y ait une urne qui contient trois numéros impairs.
Q₂ Calculer la probabilité p₂ qu’il y ait une urne qui contient trois numéros pairs.
Q₃ En déduire la probabilité p₃ pour qu’il n’y ait aucune urne qui contienne  trois numéros de même parité.