La tortue défie le lièvre dans une course organisée avec deux banderoles, la première à 3 kilomètres du départ et la deuxième à 5 kilomètres du départ. Les distances L(t) et T(t) parcourues en mètres par les deux concurrents à partir du départ obéissent aux formules suivantes : Lièvre Tortue
avec la variable réelle t qui s’exprime en nombre d’heures (avec décimales) à partir du départ. Q1 Qui démarre le plus vite ? Q2 Qui passe en tête sous la première banderole et à quel moment à la seconde près après le départ ? Q3 Qui arrive en tête sous la deuxième banderole et à quel moment à la seconde près après le départ ?
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Pour le nombre premier p fixé à l’avance prenant successivement les valeurs 2,3,5,7 et 11,Zig recherche tous les nombres premiers q et r pas nécessairement distincts tels que le produit qr divise pq + pr. Zig a trouvé 7 couples(1) (q,r) distincts pour une certaine valeur de p.Quelle est cette valeur ?
(1) Nota: un couple de deux objets est la donnée de ces deux objets dans un ordre déterminé. Le couple des deux objets et est noté . Si et sont distincts, le couple est distinct du couple
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Dans un triangle acutangle ABC on trace les hauteurs BD et CE. Les tangentes en D et en E au cercle circonscrit au triangle ADE se rencontrent au point P. La médiatrice de AP rencontre la parallèle au côté BC passant par A au point Q Démontrer que la parallèle passant par Q à la droite [DE] partage les segments PD et PE en leurs milieux.
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On trace dans le plan Oxy un carré OABC avec A sur l’axe des abscisses positives et C sur l’axe des ordonnées postives telles que OA = OC = k. Q₁ Déterminer le plus petit entier k tel qu’on sait découper ce carré en neuf rectangles dont l’un d’eux au moins est strictement intérieur au carré et dont les centres, tous de cordonnées entières, sont les sommets d’un ennéagone convexe. Q₂ Prouver qu’on sait trouver un entier k tel que le carré est découpé en plusieurs rectangles dont les longueurs des côtés sont entières et les centres sont les sommets d’un ikosikaitrigone convexe(1) .
(1) Nota : 23 côtés
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Diophante écrit l’entier n > 0 au tableau noir. A tour de rôle Zig et Puce multiplient le dernier entier écrit au tableau par n’importe quel entier de son choix allant de 2 à 9. Le premier qui atteint un million ou plus gagne la partie. Déterminer le vainqueur dans les trois cas suivants : Q1 n = 1. Zig commence la partie. Q2 n = 13. Puce commence la partie. Q3 n = 2024. Zig commence la partie.
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Soit p un nombre entier naturel >1. On considère un sous-ensemble X de l’ensemble E = {1,2,3,4,5….2p } qui contient le nombre maximal Np d’entiers x tels que si x appartient à X, alors 2x n’appartient pas à X Déterminer p dans les deux cas suivants : Q1 Np = 699051 Q2 Np =22369621
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