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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1749. Juste une devinette Imprimer Envoyer

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Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.



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A2839. Commutations à la chaîne Imprimer Envoyer

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Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x)  dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x2 – 1.
Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que
P2(x) = x2 – a et P3(x) sont commutables.
Q2 Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x² – a.
Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).
Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables,  2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ 
j



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A639. Multi-partitions Imprimer Envoyer

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Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une partition de E en deux sous-ensembles de même somme avec l’un des sous-ensembles de cardinal m.

Application numérique : trouver le plus grand entier n tel que les deux éléments extrêmes  de E sont égaux à 1 et 2021.



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D1897. Six preuves sans mots Imprimer Envoyer

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Répondre aux six questions suivantes :
 - en excluant toute formule trigonométrique,
 - en utilisant,si besoin est, les quatre opérations élémentaires (+, – , x et /)
 - en donnant pour seules preuves (sans mots) les figures ci-après dûment complétées.

 d1897a
      

Q₁

 

 

 

 

d1897b
















Q1 ABCD est un carré de côté AB=5. E est un point courant de BC, F sur CD et  angle  EAF=45°.Quelle est la valeur maximale du périmètre du triangle CEF ?[*]

Q2 ABCD est un carré dans lequel est inscrit le triangle pythagoricien DEF (3,4,5) avec E sur AB et F sur BC.

Quelle est l’aire du carré ABCD arrondie à l’entier le plus proche.[*]

Q3 ABCD est un quadrilatère tel que BA=BC,angle ABD=x,angle ADB=3x,angle CBD=3x et angle BDC=5x. Que vaut x en degrés ?[**]


Q4 Tracer à la règle et au compas le cercle (Γ) qui passe par les sommets A et C d’un triangle ABC et qui coupe les côtés BC et AB respectivement aux points D et E de sorte que AE=BD[***]


Q5 ABCD est un quadrilatère dont l’angle en B est droit, M est le milieu du côté CD et l’angle  BAD est égal à l’angle  CBM. Si angle BAC=25°, que vaut l’angle  DBM
? [**]

Q6 ABCD est un carré.Q est un point du quart de cercle de centre B et de rayon BC=r tel que le demi-cercle de diamètre CQ est tangent en P au côté AB. Quelle est la longueur du côté BC ?[*]




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G1916. Entrainement au basket Imprimer Envoyer

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g1916Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied (voir photo ci-contre).
Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux.
Par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > 4) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.



Q₁ Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).

Q₂ Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier ≥ 3) lancers à l’issue de n  (entier > 4) lancers (incluant les quatre premiers).
Q₃ Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.
Q₄ Pour les plus courageux : Zig réussit p lancers sur les q premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de n essais (n > q).




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g2965. Les premiers en Pythagorie Imprimer Envoyer

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On considère les triplets pythagoriciens  (a,b,c) dont deux  des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangle ABC est supérieur à 2°.



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