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Q1 Déterminer le plus petit entier qui a exactement 2020 diviseurs entiers positifs.
Q2 Déterminer le plus petit entier qui au moins 2020 diviseurs entiers positifs.
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Soit un entier n ≥ 0. On cherche les entiers strictement positifs x tel que la somme des puissances de x d’ordre 0 à n est un carré parfait.
En d’autres termes, pour un entier n donné, on cherche les solutions en x et y entiers > 0 de l’équation
(E) : 1 + x + x2 + …+ xn = y2,
Q1 Démontrer que :
- pour n = 2, (E) n’a pas de solution [*]
- pour n = 3, (E) a au moins deux solutions1[*]
- pour n = 4, (E) a une seule solution [***]
- pour n = 5, (E) n’a pas de solution [***]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) a au moins une solution [*]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) n’a pas de solution [***]
1 Nota : pour les plus courageux : prouver qu’il y a exactement deux solutions [*****]
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Dans le plan d’un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions d’un point P quelconque par rapport aux côtés BC,CA et AB.
Q1 Démontrer que les cercles (AB’C’), (BC’A’) et (CA’B’) sont concourants en un même point Q.
Q2 Déterminer le lieu de Q quand P décrit le cercle inscrit du triangle ABC.
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Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 > 25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux carrés parfaits strictement inférieurs à 1002 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.
© RG : Copyright Richard Guy
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Q1 Plusieurs entiers strictement positifs pas nécessairement distincts de somme S = 20 sont écrits sur une même ligne. L’un quelconque de ces entiers ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont différents de 3. Démontrer que cette suite contient un nombre maximum N d’entiers que l’on déterminera.
Q2 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont distincts de 50 et on a N = 2020. Déterminer la ou les valeur(s) correspondantes(s) de S.
Q3 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents de deux termes ou plus adjacents sont distincts à la fois de 30 et de 50 et on a S = 2020. Déterminer N.
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Une fonction f est définie sur l’ensemble des entiers n strictement positifs par les relations :
f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n) et f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n).
On appelle point fixe l’entier n tel que f(n) = n.
Q₁ Déterminer le nombre de points fixes tels que 1≤ n ≤ 2020.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n tel qu’on recense 2020 points fixes entre 1 et n (bornes incluses)
(1) Problème de l’Olympiade internationale de mathématiques 1988 à Canberra (Australie)
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Problèmes du mois
