Déterminer l’entier n le plus proche possible de 2024 qui a les deux propriétés suivantes :
P₁ : on lui applique la fonction f définie par f(n) = n / 2 si n est pair  et f(n) = n² ‒ 1 si n est impair et on obtient 0 en appliquant la fonction f ,un nombre fini de fois, aux résultats successifs.
P₂ : la somme r(n) des restes de la division de n par les entiers successifs 1,2,3,..n est égale à la somme  r(n + 1).

Prouver qu’il existe un nombre composé⁽¹⁾ de 2024 chiffres tel que si l’on remplace ses trois derniers chiffres par trois chiffres quelconques, le nombre résultant est toujours composé.
Pour les plus courageux : existe-t-il un nombre composé de 850 chiffres qui a les mêmes propriétés ?

⁽¹⁾Nota : Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même.

A’,B’,C’ sont les symétriques d’un point quelconque P du plan par rapport aux côtés BC,CA et AB d’un triangle ABC.

Démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles ABC, AB’C’, A’BC’ et A’B’C sont concourants en un même point Q.

L’ascenseur de l’immeuble de bureaux de 65 étages dans lequel Zig travaille au 60ème étage, a été conçu par un architecte farfelu passionné d’arithmétique.
L'ascenseur commence au 1er étage et dessert tous les étages.

Pour monter, il y a un seul bouton ↑ qui vous amène directement en 10 secondes de l’étage n° k à l’étage n°(k + 8). Si k ≥ 58, l’ascenseur reste bloqué. Pour aller de l’étage n°k à l’étage n°(k + 16), k ≤ 49,  il convient d’appuyer une première fois sur le bouton ↑ à l’étage n°k et une deuxième fois sur le même bouton à l’étage n°(k + 8).

Pour descendre, il y a aussi un seul bouton ↓ qui vous amène directement en 15 secondes de l’étage n° k à l’étage n°(k ‒ 11).
Si k ≤ 11, l’ascenseur reste bloqué. Pour aller de l’étage n°k à l’étage n°(k ‒  22), k ≥ 23,  il convient d’appuyer une première fois sur le bouton ↓ à l’étage n°k et une deuxième fois sur le même bouton à l’étage n°(k ‒ 11).

A chaque arrêt, le temps d’ouverture et de fermeture des portes est de 8 secondes.

Puce est au niveau 1.
Q₁ Prouver qu’il peut atteindre n’importe quel étage de l’immeuble en un temps fini.
Q₂ Il est exactement 7h52 et il a  un rendez-vous  à 8 heures avec Zig. Sera-t-il à l’heure ?
Q₃ Pour les plus courageux : en supposant qu'on ne passe jamais deux fois au même étage,combien y-a-t-il de trajets distincts de l’ascenseur qui permettent de rejoindre le bureau de Zig au 60ème étage à partir du 1er étage ?

   

 Zig et Puce décident les règles d'un nouveau jeu avec les cinq dés qu'ils viennent d'utiliser lors d'une partie de Yams.
Chacun à tour de rôle lance les cinq dés et calcule la somme s des chiffres obtenus. Zig est le vainqueur s'il est le premier à obtenir la cible s = 16 tandis que Puce est vainqueur s'il est le premier à obtenir la cible s = 17.
Zig commence la partie. Quelle est sa probabilité de gain?

H₁ On trace un polygone régulier de trente-et-un côtés (triacontakaihenagone). Sait-on trouver six sommets de sorte que les distances qui les séparent  sont toutes distinctes ?

H₂ Vingt-et-une personnes participent à une convention sur les mathématiques récréatives. Sait-on constituer vingt-et-un comités de cinq personnes chacun de sorte qu’on ne trouve jamais la même paire de personnes dans deux comités distincts ?