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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1716. Les dix derniers chiffres Imprimer Envoyer

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Q₁ Trouver les plus petits entiers positifs divisibles respectivement par 2,3,5,7,11 et 13 et dont les dix derniers chiffres sont distincts. [*].
Q₂  Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’on sait toujours trouver un multiple de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [**]
Q₃  Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’il existe  une infinité de multiples de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [***]



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A2813. Deux moyennes données,un moyen à trouver Imprimer Envoyer

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Puce choisit une suite S de n ≥ 2 entiers strictement positifs dont n – 1 au moins sont distincts. Il établit la liste de toutes les sous-suites extraites de S ayant au moins un terme et calcule pour chacune d’elles le produit de ses termes(1). La moyenne arithmétique des produits ainsi obtenus est égale à 49.
Zig choisit un entier k strictement positif et suggère à Puce de recommencer ses calculs en ajoutant k à  S. La moyenne arithmétique des produits est alors égale à 193.
Grâce à ces deux moyennes, trouver un moyen de déterminer l’entier k et tous les termes de S.

(1)
si la sous-suite contient un seul terme, le produit est égal au terme lui-même.



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A382. Achille est fort Imprimer Envoyer

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Un nombre entier n est dit  « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.
Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n)  étant la fonction indicatrice d'Euler de n,c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n,un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n)=φ(φ(n)),… …,φ(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...))  sont tous  des  nombres d’Achille.
Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré  qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 107.

(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.



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D1870. Bon ménage Imprimer Envoyer

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Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez  chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
E1 Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
E2 Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle  d1870AMC. Que vaut l’angle d1870 AMD ?
E3 Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires  passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC est tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
E5 Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?
E6 On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
E7 Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle  d1870MAN ?



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D660. Objectif 2019 Imprimer Envoyer

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Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer  qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre): déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.



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E6907. Transvasements à la chaîne Imprimer Envoyer

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Cent entiers sont écrits sur une ligne et prennent initialement la valeur 0. A chaque tour, il est possible d’en choisir neuf et de retrancher 1 du premier, 2 du second, etc…,8 du huitième et d’ajouter 9 au neuvième. Déterminer le nombre maximum d’entiers qui deviennent positifs à l’issue d’un certain nombre de tours.



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