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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A1715. Des diviseurs à foison Imprimer Envoyer

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Q1 Déterminer le plus petit entier qui a exactement 2020 diviseurs entiers positifs.
Q2 Déterminer le plus petit entier qui au moins 2020 diviseurs entiers positifs.



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A581-0,1,2,...deux infinitudes Imprimer Envoyer

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Soit un entier n ≥ 0. On cherche les entiers strictement positifs x tel que la somme des puissances de x d’ordre 0 à n est un carré parfait.
En d’autres termes, pour un entier n donné, on cherche les solutions en x et y entiers > 0 de l’équation
(E) : 1 + x + x2 + …+ xn = y2,
Q1 Démontrer que :
- pour n = 2, (E) n’a pas de solution [*]
- pour n = 3, (E) a au moins deux solutions1[*]
- pour n = 4, (E) a une seule solution [***]
- pour n = 5, (E) n’a pas de solution [***]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) a au moins une solution [*]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité de valeurs de n telles que l’équation (E ) n’a pas de solution [***]
1 Nota : pour les plus courageux : prouver qu’il y a exactement deux solutions [*****]





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D1883. Réflexions sur réflexions Imprimer Envoyer

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Dans le plan d’un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions d’un point P quelconque par rapport aux côtés BC,CA et AB.
Q1 Démontrer que les cercles (AB’C’), (BC’A’) et (CA’B’) sont concourants en un même point Q.
Q2 Déterminer le lieu de Q  quand P décrit le cercle inscrit du triangle ABC.



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E137. © RG Imprimer Envoyer

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Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième  fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 > 25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux carrés parfaits strictement inférieurs à 1002 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.

© RG : Copyright Richard Guy



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E644. Exercices d'élongation Imprimer Envoyer

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Q1 Plusieurs entiers strictement positifs  pas nécessairement distincts de somme S = 20 sont écrits sur une même ligne. L’un quelconque de ces entiers ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont différents de 3. Démontrer que cette suite contient un nombre maximum N d’entiers que l’on déterminera.
Q2 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont distincts de 50 et on a N = 2020. Déterminer la ou les valeur(s) correspondantes(s) de S.
Q3 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents de deux termes ou plus adjacents sont distincts à la fois de 30 et de 50 et on a S = 2020. Déterminer N.




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G2949. Les kangourous (1) recherchent leurs points fixes Imprimer Envoyer

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Une fonction f est définie sur l’ensemble des entiers n strictement positifs par les relations :
f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n) et f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n).
On appelle point fixe l’entier n tel que f(n) = n.
Q₁ Déterminer le nombre de points fixes tels que 1≤ n ≤ 2020.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n tel qu’on recense 2020 points fixes entre 1 et n (bornes incluses)
(1) Problème de l’Olympiade internationale de mathématiques 1988 à Canberra (Australie)





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