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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes du mois
A1601. Des PGCD sur mesure Imprimer Envoyer

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Pour tout entier s ≥ 66, on considère toutes les suites Si (i = 1,2,…k) constituées de 11 entiers distincts strictement positifs dont la somme est égale à s et le produit est égal à pi.
Q1 Soit s = 82. Déterminer le PGCD(1) de tous les produits pi.
Q2 Déterminer la plus petite valeur de s telle qu’on sait trouver deux suites S1 et S2 de même somme s et dont le PGCD de p1 et de p2 est égal à 1.
(1)Nota : PGCD : plus grand commun diviseur

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A5940. Jongleries avec des sdc(n²) Imprimer Envoyer

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Q1 Puce sait-il trouver trois entiers naturels a,b et c en base 10 tels que les sommes des chiffres (sdc)  de leurs carrés sont égales respectivement à 37, 38 et 39 ? [*]
En cas de réponse positive pour l’un quelconque de ces trois entiers, Puce peut-il affirmer qu’il existe une infinité d’entiers qui ont la même sdc de leurs carrés que lui ?[**]
Qu’en est-il si les carrés de a,b,c sont écrits en base 2  et les sdc de ces carrés écrits en base 10? Même question si les carrés sont écrits en base 3 ?[***]

Q2 Aidez Zig à trouver deux  entiers naturels consécutifs en base 10, les plus petits possibles, dans les deux cas suivants :
1er cas : ces entiers sont  inférieurs ou égaux à 2024 et l’écart en valeur absolue entre les sdc de leurs carrés est égal à 33[**]
2ème cas : l’écart en valeur absolue entre les sdc de leurs carrés est supérieur à 50.[**]

Nota : les deux questions Q1 et Q sont indépendantes.

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A736. Deux intruses parmi cinq Imprimer Envoyer

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Parmi cinq pièces de même apparence, une est plus lourde et une autre est plus légère que les trois autres qui sont bonnes.
On pose s1=  somme des poids de deux bonnes pièces et s2  = somme des poids des deux intruses
1er cas . s1=  s2   
A l’aide d’une balance Roberval à deux plateaux, déterminer en trois pesées la pièce la plus lourde et la pièce la plus légère,
2ème cas s1 ≠ s2.
Peut-on toujours déterminer en trois pesées la pièce la plus lourde et la pièce la plus légère ?

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D1750. La saga des dichotomies (15ième épisode) Imprimer Envoyer

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On trace les cercles exinscrits (Γb) et (Γc) du triangle dans les angles en B et en C puis leurs symétriques  (Γ’b) et (Γ’c) respectivement par rapport au milieu de AC et au milieu de AB.
Démontrer que l’axe radical de ces deux cercles partage en deux le périmètre du triangle ABC.

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E5927. Gagnants et perdants Imprimer Envoyer

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Zig, Puce et Diophante décident de jouer à la bataille(1) avec un jeu de 32 cartes. Ils conviennent que le perdant d’une partie laisse sa place au troisième pour la partie suivante.
En fin d’après-midi Puce a joué 17 parties tandis que Diophante en a joué 35. Qui a gagné la 15ième partie ? Combien de parties ont été  jouées par Zig?
Le jour suivant, ils recommencent à jouer et cette fois-ci Zig a joué 22 parties, Puce 15 parties et Diophante 25 parties. Qui a perdu la 6ième partie ? Quels sont les joueurs de l’antépénultième partie ?
(1)Nota : dans la version traditionnelle qui se joue à deux.

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G1929. Probabilités plano-sphériques Imprimer Envoyer

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Zig choisit deux points A et B sur une sphère et demande à Puce d’en désigner au hasard un troisième appelé C. Si le triangle ABC (plan) ainsi obtenu est acutangle, alors Zig a gagné, sinon c’est Puce.
Comment Zig peut-il maximiser ses chances de gain en choisissant les deux points A et B sur la sphère.

 

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