Trouver une suite strictement croissante de 2012 nombres entiers positifs tels que les termes de rang impair constituent une progression arithmétique et ceux de rang pair une progression géométrique.
Pour les plus courageux : pour quelles valeurs de l’entier n >2 peut-on construire une suite strictement croissante de n nombres entiers positifs ayant les mêmes caractéristiques ?

A partir de quatre chiffres distincts a,b,c,d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme ,,,,et .Leur somme est égale à l’entier  et le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier . Déterminer ces six entiers.

Dans un triangle ABC dont les points O,I et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et l’orthocentre, les cercles exinscrits touchent les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. Démontrer que les droites AD, BE et CF se coupent en un même point appelé N dont la distance à H est le double de la distance OI.

On considère la suite d’entiers positifs telle que a₁ = 1,a₂ = 2 et le terme général a_n pour n > 2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur à 1 avec le terme précédent .
Démontrer que :
Q1 : 2012 appartient à la séquence.
Q2 : tout entier naturel appartient à la séquence.
Q3 : les nombres premiers apparaissent dans l’ordre croissant.
Question annexe : justifier le qualificatif « cordiale » de la séquence.

Dans cette capitale d’un lointain pays, un tiers des habitants ont la réputation de mentir systématiquement aux questions qui leur sont posées tandis que les autres disent la vérité trois fois sur quatre. Dans tous les cas, les réponses des uns et des autres sont indépendantes entre elles quels que soient les interlocuteurs.Un groupe de cinq touristes s’est perdu dans le centre-ville. Quatre d’entre eux,chacun à son tour,demandent à un même passant si la direction du Musée de la Vérité est « Nord » ou « Sud ».Ils obtiennent successivement la même réponse : « Nord ». Le dernier touriste s’apprête à poser la même question au même passant.Quelle est la  réponse (Nord ou Sud) du passant qui donnera au groupe le plus de chance ...de  ne pas perdre le Nord ?

On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni parallèles ni perpendiculares entre elles.A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites reliant les quatre autres points.Quel est le nombre maximum de points d’intersection de toutes ces perpendiculaires ?