Un entier naturel n est appelé plaisant s’il admet un diviseur propre⁽¹⁾ d > 1 et si d + 1 est un diviseur propre de n + 1.Pour tout entier k ≥ 1, on s’intéresse aux k-uplets d’entiers plaisants consécutifs : n₁,n₂ = n₁ + 1, n₃ = n₂ + 1,….,n_k = n_k-1 + 1, les diviseurs propres correspondants ne formant pas nécessairement une suite d'entiers consécutifs.
Par exemple pour k = 1, n₁ = 8 est un entier plaisant car 2 divise 8 et 3 =2 + 1 divise 9 = 8+1.
Pour k = 2, n₁ = 26 et n₂  = 27 constituent un doublet d’entiers plaisants consécutifs. 26 est plaisant car 2 divise 26 et 3 divise 27  de même que 27 est plaisant car 3 divise 27 et 4 divise 28. 
Q₁ Pour tout entier k ≥ 1, prouver qu’on sait toujours trouver au moins un k-uplet d’entiers plaisants consécutifs puis qu’il en existe une infinité dénombrable.
Q₂ Sur l’ensemble des k-uplets d’entiers plaisants consécutifs, on recherche le plus petit des premiers termes n₁ et l’on obtient la suite S de terme général a_k .Déterminer les quinze premiers termes de S de a₁ à a₁₅.
 ⁽¹⁾ Un diviseur propre d'un entier naturel n est un entier naturel diviseur de n mais distinct de n
Source : d’après un problème proposé par le Ghana aux IMO 2024

On considère la suite de 2025 entiers x_i ≥ 0, i = 0,1,2,….2024, pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2025.
Déterminer la valeur minimale de : 

Source : problème proposé par la Chine aux IMO 2024.

Diophante choisit à l’avance deux entiers p et q strictement positifs et demande à Zig de déterminer les entiers a et b strictement positifs tels que les entiers pa + qb et qa – pb sont respectivement des carrés parfaits x² et y² et le plus petit de ces deux carrés est le plus petit possible avec min(x²,y²) = m.
Q₁  Diophante choisit p = 13 et q = 14. Aidez Zig à déterminez a,b et m
Q₂  Diophante choisit deux couples distincts (p₁,q₁) et (p₂,q₂) tels que p₁/q₁≠ p₂/q₂ . Zig obtient dans les deux cas les entiers a = 6 et b = 10 et la même valeur m. Déterminez m et les valeurs minimales des couples (p₁,q₁) et (p₂,q₂)
Source :d’après le  problème n°4 des IMO 1996.

Soit ABCDE un pentagone convexe et M le milieu de AB. Supposons que le segment AB soit tangent au cercle circonscrit au triangle CME en M et que D soit situé sur les cercles circonscrits aux triangles AME et BMC. Les droites [AD] et [ME] se coupent en K, et les droites [BD] et [MC] se coupent en L. Les points P et Q sont situés sur la droite EC, de sorte que  PDC  =  EDQ  =  ADB.
Démontrer que les droites [KP], [LQ] et [MD] sont concourantes.
Source : problème proposé par la Biélorussie aux IMO 2024.

Q₁ Trouver une suite strictement croissante de 2025 entiers naturels a₁,a₂,…,a_i,…a₂₀₂₅ tels que chacun d’eux possède au moins trois diviseurs propres⁽¹⁾ et pour tout i = 2,..,2025, a_i est égal à la somme des trois plus grands diviseurs propres de a_i-1 [**]
Q₂ On considère les suites infinies Σ des entiers naturels b₁,b₂,…,b_i,… tels que chacun d’eux possède au moins trois diviseurs propres et pour tout i ≥2, b_i est égal à la somme des trois plus grands diviseurs propres de b_i-1..
On désigne par S la suite infinie strictement croissante des valeurs possibles de b₁.
Déterminer :
- les dix premiers termes de S,[**]
- les deux valeurs de S qui encadrent l’entier 2025,[*]
- les suites Σ dont le deuxième terme b₂ est à la fois inférieur à 2025 et strictement supérieur à  b₁[**]
- la formule générale des termes de S.[****]
⁽¹⁾ Un diviseur propre d'un entier naturel n est un entier naturel diviseur de n mais distinct de n
Source : problème n°4 des IMO 2025 en Australie

Diophante fixe un entier strictement positif n. Zig et Puce tracent respectivement deux hexagones réguliers H_z et H_p dont les côtés sont respectivement de longueurs  n et n + 1. 
                                                                  
Chacun d’eux établit à l’intérieur de son hexagone, bords inclus, un maillage équilatéral en traçant les points, séparés de la distance unité, qui sont situés à l’intersection des droites parallèles aux côtés de l’hexagone, puis recense tous les hexagones réguliers dont les sommets sont choisis parmi les points du maillage (voir figure ci-dessus).
Déterminer le nombre d’hexagones réguliers recensés par Puce sachant qu’il en a dénombré 729 de plus que Zig.
Source : d’après problème n° 4 Balkan Math Olympiad 2014