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Trouver un entier n, si possible le plus petit, tel qu'il y a exactement 2019 diviseurs de n2 qui font bande à part car ils sont strictement inférieurs à n et ne sont pas diviseurs de n.
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Soient 12 nombres réels choisis dans l'intervalle ouvert ]1,12[.
Démontrer que trois d'entre eux peuvent toujours être retenus comme longueurs des côtés d'un triangle acutangle (i.e. dont tous les angles sont aigus).
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Puce dispose d'une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu'il peut répartir successivement les N plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles,etc...et enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les poids des piles sont tous identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N.
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Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se rencontrent au point D.
Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle en B.
La droite [BF] rencontre la droite [AD] au point P.
La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J.
La parallèle passant par P à la droite [AC] coupe la droite [AB] au point K et la droite [BC] au point L.
Q1 Démontrer que les quatre points I,J,K et L sont sur un même cercle (γ).
Q2 Le cercle (γ) coupe la droite [AB] en un deuxième point M et la droite [AC] en un deuxième point N. Démontrer que la droite [MN] est parallèle à la droite [BC]
Source: La géométrie du triangle de Trajan Lalesco
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Prouver qu'il existe au moins un ensemble fini E de n points dans l'espace qui ne sont pas tous situés dans le même plan de sorte que pour tout couple de points A et B appartenant à cet ensemble, on sait trouver deux autres points C et D du même ensemble tels que les segments AB et CD sont parallèles tout en étant distincts.
Pour les plus courageux:
Trouver trois exemples d'ensembles E₁,E₂ et E₃ ayant des nombres différents de points (n1 < n2 < n3).
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Diophante fixe un entier naturel n ≥ 2. Zig et Puce partent d'une ligne vide, le premier joueur écrit "0" ou "1" puis chacun à son tour ajoute "0" ou "1" à la fin de la séquence de "0" et de "1" précédemment écrite. Un joueur perd si le chiffre qu'il ajoute fait apparaître un bloc de n chiffres consécutifs qui se répète pour la deuxième fois. Les deux blocs qui se répètent peuvent se chevaucher
Par exemple:
- pour n = 3, à partir de la séquence 0011100 le second joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 3 chiffres "001" se répète dans la séquence 00111001.
- pour n = 5, à partir de la séquence 101010 le premier joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 5 chiffres "10101" se répète dans la séquence 1010101.
Q1 Démontrer que quel que soit n ≥ 2, la partie se termine toujours en un nombre fini de tours.
Q2 n = 3 et Puce commence la partie.Qui est vainqueur?
Q3 n = 4 et Zig commence la partie.Qui est vainqueur?
Q4 n = 5 et Zig commence la partie.Qui est vainqueur?
Pour les plus courageux: peut-on déterminer qui a une stratégie gagnante en fonction de n?
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Problèmes du mois
