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Plus de 2500 récréations et problÚmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothÚque de problÚmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thÚmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problÚmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil ProblĂšmes du mois
ProblĂšmes du mois
A1750. Une charade Ă  tiroirs Imprimer Envoyer

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Mon premier X est la plus grande valeur possible des PGCD de deux termes consécutifs de la suite définie par la relation an = n2 + 101, n = 1,2,3,
..
Mon deuxiĂšme Y est le nombre de paires d’entiers naturels a et b, a ≀ b, tels que PGCD(a,b) + PPCM(a,b) = X.
On considĂšre Y couples distincts d'entiers positifs (u,v) dont les PPCM de u et de v prennent la mĂȘme valeur z.
Mon troisiĂšme Z est le plus petite valeur possible de z.
Mon tout T est Ă©gal Ă  (X + Y)/Z. Que vaut T?

Nota
1)  PGCD : plus grand commun diviseur et PPCM : plus petit commun multiple.
2) Le couple (u,v) avec u ≠ v est distinct du couple (v,u)



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A2850. Curiosités radicales Imprimer Envoyer

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Q₁ Simplifier l’expression (calculette exclue!) :
                     a2850a

Q₂ Trouver les solutions rĂ©elles de l’équation :
                              a2850b 

Q₃ Trouver les solutions rĂ©elles de l’équation :
                                 a2850c

Q₄ ReprĂ©senter dans le plan RÂČ le graphique de la fonction  a2850d dĂ©finie pour x ≄ 5 et prouver que y est une constante pour x appartenant Ă  un certain intervalle que l’on dĂ©terminera.

Q₅ ReprĂ©senter dans le plan RÂČ le graphique de la fonction Ă  deux variables x et y dĂ©finie par  la relation :f(x,y) =  a2850e
Q₆ ReprĂ©senter dans le plan RÂČ les deux cubiques y = x3 ‒ 1 et y = a2850f et dĂ©terminer les coordonnĂ©es de leurs points d’intersection.



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A390. Deux entiers et leurs cubes Imprimer Envoyer

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DĂ©montrer que quel que soit l’entier k ≄1, on sait trouver deux entiers a et b strictement positifs de k chiffres l’un et l’autre tels que l’entier n obtenu par concatĂ©nation de a et de b sĂ©parĂ©s par k zĂ©ros est Ă©gal Ă  la somme des cubes de a et de b.



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D1702-Trois droites d'Euler Imprimer Envoyer

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Soit un triangle ABC (scalĂšne et non rectangle). On dĂ©signe par A’,B’,C’ les pieds des hauteurs issues de A,B et C sur les cĂŽtĂ©s BC,CA et AB.
DĂ©montrer que les droites d’Euler des triangles AB’C’, A’BC’ et A’B’C sont concourantes en un point situĂ© sur le cercle d’Euler du triangle ABC.



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D377. Randonnées montagnardes Imprimer Envoyer

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d377Diophantiana Montagna peut ĂȘtre assimilĂ©e Ă  un cĂŽne de sommet S dont l’apothĂšme SD1 (voir figure ci-contre) vaut quatre fois le rayon de la base circulaire OD1.
Le long d'une gĂ©nĂ©ratrice  Sxi, on considĂšre les couples de points (Di,Ai), i = 1,2,
,k, tels que Di est le point de dĂ©part de la plus courte randonnĂ©e ri qui fait le tour de la montagne en passant par le point le plus Ă©levĂ© oĂč se trouve l’unique refuge R avant de se terminer au point d’arrivĂ©e Ai.
Quelle que soit la randonnĂ©e, toutes les distances SDi, SAi, les parcours DiRAi s’expriment en nombres entiers de mĂštres. Il en est de mĂȘme de SR distance du refuge au sommet.
Sachant que D1 est le point de dĂ©part le plus Ă©loignĂ© de S avec SD1 = 3000 mĂštres, dĂ©montrer qu’on sait tracer six parcours de randonnĂ©es distincts passant tous par R. DĂ©terminer les points de dĂ©part par rapport au sommet S, les longueurs respectives de ces parcours ainsi que la distance SR.



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E568. Méli-mélo de plus et de moins Imprimer Envoyer

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On considÚre n nombres différents de zéro. Pour chaque paire de nombres, on calcule la somme et le produit des deux nombres.
Q1. n = 9 et  la moitiĂ© des produits sont nĂ©gatifs. DĂ©terminer le nombre maximum possible de sommes positives.
Q2. n = 21 et la moitié des sommes sont négatives. Déterminer le nombre maximum possible de produits positifs.



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