Problèmes du mois - Problèmes du mois A1763. | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 1000 problèmes mathématiques

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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes du mois

A1763. A déguster sur le pouce

1er zakouski
Zig choisit deux nombres premiers distincts p et q et demande à Puce de déterminer le plus petit entier positif a tel que le reste de la division de aq par p est égal à 1 puis le plus petit entier positif b tel que le reste de la division de bp par q est égal à 1. Aidez Puce à calculer aq + bp en fonction de p et de q.
Application numérique p = 43 et q = 47

2ème zakouski
Zig demande à Puce de recenser tous les entiers compris entre 4088484 et 4092529 (bornes exclues) puis de calculer les produits de ces entiers pris deux à deux. Aidez Puce à trouver deux produits identiques ou à démontrer qu’ils n’existent pas.

3ème zakouski.
Zig demande à Puce de déterminer l’ensemble (E) des entiers naturels n strictement positifs qui sont divisibles par tous les entiers impairs dont les carrés sont strictement inférieurs à n.
Aidez Puce à déterminer le plus grand élément de (E).

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A2878. Deux équations exotiques

Afin de sortir des sentiers battus des équations polynomiales, voici deux équations que l’on peut qualifier d’exotiques :

Ex1
Soit l’équation {2{7{17{a{x}}}}} = x dans laquelle x est la variable réelle inconnue, a est nombre entier > 0 fixé à l’avance et {y} est la partie fractionnaire de y*. La somme de toutes les solutions de cette équation est égale à 2022 . Déterminer l’entier a.
*Nota : {y} = y – ent(y) avec ent(y) = partie entière par défaut de y.

Ex2
Résoudre en x variable réelle >0, l’équation

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A388. Les points fixes

Pour tout entier n > 1, on désigne par f(n) le produit de tous les diviseurs positifs de n qui lui sont strictement inférieurs. On recherche les points fixes de f, c'est-à-dire les entiers > 1 tels que f(n) = n.
Q₁ Démontrer qu’on sait trouver trois points fixes consécutifs mais qu’il est impossible d’en trouver quatre ou plus. Trouver deux triplets de points fixes consécutifs tous inférieurs à 100.
Pour les plus courageux disposant d’un automate, déterminer le premier triplet de points fixes consécutifs ≥ 2022.
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de points fixes et donner la condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier n soit un point fixe.

Source : ouvrage « Elementary Theory of Numbers » de W.Sierpinski

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D1734. Deux constantes et une conique

Soit un point courant C sur un cercle (Γ) de centre A et de rayon AB = 6. La médiatrice (Δ) du rayon AC rencontre la bissectrice de l’angle BAC au point D et la droite [CD] rencontre la droite [AB] au point E. Le cercle de centre E et de rayon EA rencontre la droite (Δ) aux points F et G, avec le point F situé entre le milieu M de AC et le point D.
Quand le point C parcourt (Γ), prouver que :
Q₁ : le segment FG est vu du point C sous un angle constant de même que le segment AF est vu du point B sous un angle constant,
Q₂ : le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle BCF est une conique dont on déterminera les foyers et les axes.

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E5918. L'énigme de Pétrarque

Pétrarque le célèbre poète et érudit florentin était un collectionneur averti de monnaies antiques. C’est ainsi qu’il conçut cette énigme :
« Je dispose de cinq bourses de même apparence qui contiennent chacune 30 pièces de monnaie. L’une d’elles contient exclusivement des pièces d’or, la seconde exclusivement des pièces d’argent, la troisième exclusivement des pièces de bronze. Les quatrième et cinquième contiennent chacune 10 pièces d’or, 10 pièces d’argent et 10 pièces de bronze. Cher lecteur, déterminez le nombre minimum de pièces qui doivent être tirées de tout ou partie de ces bourses afin de connaître de manière certaine le contenu d’au moins une bourse »

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J166. D'un coin à l'autre

Une pièce de monnaie est placée sur le coin inférieur gauche d’une grille n x n. Deux cases de la grille sont dites « adjacentes » si elles ont un côté commun ou bien un sommet commun.
Zig et Puce jouent une partie dans laquelle ils déplacent chacun à son tour la pièce de monnaie d’une case à une case adjacente.
j166

Les mouvements se font selon trois directions comme indiquées sur la grille ci-contre : vers le haut, vers la droite ou selon une direction parallèle à la diagonale principale.
L’objectif est d’être le premier joueur à amener la pièce au coin supérieur droit.
Q₁ Diophante détermine la dimension n de la grille en tirant au sort une boule dans une urne qui contient 7 boules numérotée de 2 à 8.
Zig commence la partie. Quelle est sa probabilité de gagner la partie ?
Q₂ n = 2022. Puce commence la partie. Quel est le vainqueur ?
n = 2023. Zig commence la partie. Quel est vainqueur ?

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