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Un premier trio est constitué de trois nombres premiers distincts choisis parmi les cinquante nombres premiers ≤ 229, dont la somme s1, la somme de leurs carrés k1 et la somme de leurs cubes q1 sont trois nombres premiers.
Un deuxième trio est lui aussi constitué de trois nombres premiers distincts ≤ 229 ayant les mêmes caractéristiques avec s2, k2 et q2 qui sont des nombres premiers.
Par ailleurs on sait que k1 = k2, les plus grands termes des deux trios sont jumeaux (1) et les deux termes médians sont cousins (1).
Déterminer les six éléments des deux trios.
Nota:
1) deux nombres premiers jumeaux sont de la forme p,p+2 et deux nombres premiers cousins sont de la forme p,p+4
2) l'usage d'un automate n'est pas indispensable.
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L'inverse de la somme de dix nombres réels > 0 et la somme des inverses de ces mêmes nombres sont dans le rapport de 1 à 100. En déduire le rapport de la puissance cinq de la somme de leurs carrés à leur produit.
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Q1 Déterminer tous les couples d'entiers (m,n) strictement positifs tels que mn − 1 est un diviseur de n3 + 3.
Q2 Pour les plus courageux: déterminer tous les couples d'entiers (m,n) strictement positifs tels que mn − 1 est un diviseur de n3 + 7.
Nota: on justifiera l'existence d'un nombre fini de solutions dans les deux questions.
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Démontrer qu'on sait trouver six points du plan X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2 tels que les huit triangles XiYjZk sont tous semblables avec 1 ≤ i, j, k ≤ 2.
Application numérique : on choisit les coordonnées de X1 (0,0) et de Y1(109,0). Le sommet Z1 est situé dans le quadrant des coordonnées strictement positives avec Z1X1 ≤ Z1Y1. Déterminer les longueurs des côtés Z1X1 et Z1Y1 à l'entier le plus proche.
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Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1)Nota: deux solides sont semblables lorsqu'il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l'échelle.
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Au dernier congrès de la Société Internationale des Mathématiciens qui a réuni 2500 mathématiciens venus du monde entier, Alice et Bernard ont été les seuls candidats en compétition pour en prendre la présidence. Tous les participants n'ont pas pris part au vote. Il n'y a pas eu de bulletins blancs ou nuls.
Alice est arrivée en tête et au cours du dépouillement des bulletins, il est apparu qu'elle a toujours été en tête.
Zig présent dans l'assemblée a calculé que la probabilité pour qu'un tel événement se produise était exactement égal à 1/2019. En déduire les nombres de bulletins obtenus respectivement par Alice et Bernard.
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Problèmes du mois
