On choisit sur une première ligne k entiers distincts a₁, a₂, …, aₖ appartenant à {1,2,…,2026}. Sur la ligne suivante, on inscrit les moyennes arithmétiques de deux termes consécutifs. On poursuit ainsi jusqu’à une dernière ligne réduite à un seul terme. On impose deux conditions à ce triangle inversé :
• toutes les moyennes rencontrées sont des entiers ;
• les k(k + 1)/2 entiers figurant dans l’ensemble du triangle sont deux à deux distincts.
Prouver que l’on sait trouver un triangle qui contient plus de 500 éléments[***]
Pour les plus courageux : déterminer la plus grande valeur possible de k  [*****]

Soit un nombre impair a > 1.
La série de terme général u(n) = nᵃ / aⁿ⁻¹,  n = 1, 2, 3, … a pour valeur exacte 12150,2342144128.
Déterminer a.

Trouver, s’il existe, un entier n dont la somme des chiffres vaut 1000 et  la somme des chiffres de n² vaut 1 000 000.

Dans un triangle scalène ABC, on marque les milieux des côtés BC, CA et AB, les pieds des hauteurs issues de A, B et C, l’orthocentre H, ainsi que les milieux des segments AH, BH et CH. On suppose que les treize points ainsi obtenus sont distincts. Déterminer le nombre minimum de triangles rectangles distincts dont les sommets appartiennent à cet ensemble de treize points.

Q₁ Trouver cinq entiers strictement positifs a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ tels que, pour tous les indices 
1 ≤ i < j ≤ 5, le nombre aⱼ / (aⱼ − aᵢ) est entier et a₅ est le plus petit possible. Peut-on construire une telle suite avec un nombre arbitraire de termes, notamment avec plus de cinq termes ?[**]
Q₂ Même question en fixant un entier m prenant successivement les valeurs 2,3,4 et 5 et en imposant pour toute paire i < j, que
aⱼ/(aⱼ − aᵢ) soit non seulement entier, mais aussi divisible par m. Peut-on construire une telle suite de toute longueur n ≥ 2 et un entier m quelconque ≥2 ?[****]

Ce distributeur de monnaie contient k boites. Afin de retirer de l’argent Zig met préalablement un euro dans chacune d’elles. Il peut donner les instructions suivantes : 
1) pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ k– 1 et à condition que la boite n° i contienne au moins un euro, le distributeur enlève un euro de la boite n° i puis ajoute 2 euros dans la boite n° (i + 1) 
2) pour tout entier j tel que 1 ≤ j ≤ k – 2 et à condition que la boite n° j contienne au moins un euro, le distributeur enlève un euro de la boite n° j puis permute les contenus des boites n° (j + 1) et n° (j + 2). 
A tout moment Zig peut retirer la somme d’argent contenue dans la boite n° k.
Q₁ Donner respectivement pour k = 3,4 et 5 les sommes maximales en euros que Zig peut théoriquement retirer de la boite n° k
Q₂ Avec k = 5, Zig peut-il retirer exactement de la boite n° 5 une somme s entière fixée à l’avance comprise entre 5 et 100 ?

 Diophante 2026-09