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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois
Problèmes du mois
A2808. Parties décimales Imprimer Envoyer

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Déterminer la somme des solutions de l'équation en x : {2{4{5{101{x}}}}} = x où {x} représente la partie décimale du nombre réel x [par exemple {20.19} = 0.19 et { – 20.19} = 0.81].



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A2810. Une belle alternance Imprimer Envoyer

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On écrit les parties entières par défaut des nombres réels a2810  dans l’ordre n = 1,2,3,.... et on obtient 88,7909,703384,.....

 Démontrer que la suite ainsi obtenue contient des entiers pairs et impairs toujours en alternance.



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A4917. Une tablée dodécagonale Imprimer Envoyer

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Douze mathématiciens sont assis sur des fauteuils numérotés de 1 à 12 autour d'une table circulaire.
Zig attribue à chacun d'eux un nombre entier strictement positif  distinct des autres.Chaque mathématicien connaît ainsi son nombre et ceux de ses deux voisins.
Puce enregistre alors les déclarations suivantes:
- le mathématicien assis sur le fauteuil n°1 déclare d'une voix forte: "la somme de mon nombre et des nombres de mes deux voisins (n°2 et n°12) est, millésime oblige, égale à 2019",
- chacun des mathématiciens assis sur les fauteuils de numéro pair 2,4,6,8,10 dit mezza-voce :"mon nombre est la moyenne géométrique des nombres de mes deux voisins",
- chacun des mathématiciens assis sur les fauteuils de numéro impair 3,5,7,9,11 dit à voix basse:  "mon nombre est la moyenne arithmétique des nombres de mes deux voisins".
Déterminer les nombres attribués par Zig aux douze mathématiciens.



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A5903. Les puissances de 2 encore et toujours à la fête Imprimer Envoyer

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Q1 Démontrer qu'il existe au moins un entier n tel que la somme:
     22016 + 22014  + 22013 + 22008 + 2n est un carré parfait.

Q2 Trouver toutes les couples d'entiers (m,n) qui satisfont la relation :
      22016 + 22012 + 22008 + 2m = n2



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D1847. Du plus simple au plus complexe Imprimer Envoyer

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Voici deux problèmes de géométrie posés tout récemment aux olympiades nationales 2019 de mathématiques en  Grande-Bretagne et en Chine.

Problème n°1 (Grande-Bretagne)
Soit un triangle ABC. La perpendiculaire en B au côté AB coupe  respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du côté BC. Le point D se projette en E sur le côté AC.
Démontrer que le triangle BFE est isocèle.

Problème n°2 (Chine)
On trace une triangle ABC (AB < AC), son cercle circonscrit (Γ) de centre O et la bissectrice intérieure (Δ) de l’angle en A. La parallèle passant par O à (Δ) coupe la droite [BC] au point D et la perpendiculaire en D à cette même droite [BC] coupe (Δ) en E. Le cercle de centre D et de rayon DA coupe la droite [BC] en un point P du même côté que B par rapport à D. Le cercle circonscrit au triangle AEP coupe la droite [BC] en un deuxième point Q et le cercle (Γ) en un deuxième point R.
Démontrer que la droite QR est tangente au cercle (Γ).





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G2947. Un mystérieux PPCM Imprimer Envoyer

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Ce mystérieux entier N a les caractéristiques suivantes :
–    il est inférieur à 2019,
–    il a seulement deux facteurs premiers,
–    il y a exactement 829 triplets d’entiers positifs ordonnés (a ≤ b ≤ c) dont le PPCM (plus petit commun multiple) est égal à N.
Que vaut N ?




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