Zig parvient à repérer une progression arithmétique (PA) de 26 termes  classés par ordre décroissant dans une sous suite S  de k termes consécutifs extraits de la suite harmonique 1/1,1/2,1/3,…,1/n, …..tels que le 1^er terme de PA est le1^er terme de S et le 26^ième terme de PA est le dernier terme de S et prend la plus grande valeur possible. 
Q₁ Déterminer l’entier k, les 1^er et 26^ième termes et la raison de PA.
Q₂ Puce remarque qu’il sait extraire de S une progression géométrique (PG) qui a un nombre N de termes. Déterminer la plus grande valeur possible de N et donner les premier et dernier termes correspondants de PG.

Q₁ Prouver qu’il existe un entier positif N tel que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[**]
Q₂ Déterminer les plus petite et plus grande valeurs de l’entier N telles que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[***]

On cherche des triplets d'entiers relatifs (a,b,c) tels que la somme du produit de deux d'entre eux et du troisième est toujours un carré parfait. Par exemple (−2,−11,−6) est carrément triplet avec (−2).(−11) – 6 = 16 = 4² ; (−2).(− 6) −11 = 1= 1²  et (−6).(−11) – 2 = 64 = 8²

Nota :Dans Q₂ et Q₃ justifiez vos réponses en cas d’absence de solution. Chaque solution sera illustrée par un exemple d’un triplet (a,b,c).

Soient un triangle ABC, M le milieu de BC et (Γ) son cercle circonscrit. On trace un point P sur le segment BM  distinct de B et de M puis la droite [AP] qui coupe (Γ) en un deuxième point D. La tangente en P au cercle circonscrit au triangle DMP coupe les droites [AB] et [AC] respectivement aux points Q et R 
Q₁ Prouver que AP est la médiane du triangle AQR issue de A.
Q₂ On trace un point N sur BC et la tangente en P au cercle circonscrit au triangle DNP coupe les droites [AB] et [AC] aux points S et T tels que SP/PT = 31. Déterminer la position exacte de N sur BC.

1er assaut
Zig et Puce prennent à tour de rôle des billes dans un sac qui en contient 2026. Zig commence la partie et prend k billes avec 1 < k < 2026. À chaque tour, chaque joueur doit prendre au moins une bille mais pas plus que le nombre de billes retenu par son adversaire au tour précédent. Le vainqueur est celui qui ramasse la dernière bille.
Qui a une stratégie gagnante ?
2ème assaut
On affiche au départ l’entier n = 2. À tour de rôle, Zig (qui joue le premier) puis Puce ajoutent au nombre affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur (donc un diviseur propre).Autrement dit, si le nombre affiché est m, le joueur choisit un entier d tel que : d divise m et 1 ≤ d < m,puis remplace m par m + d.
Le premier joueur qui fait dépasser le seuil 2026 perd immédiatement.
Qui a une stratégie gagnante ?

Des boîtes numérotées 1, 2, 3, … sont disposées de gauche à droite. On y place successivement les entiers de 1 à 2026. Chaque entier est placé dans la boîte la plus à gauche possible, avec la contrainte que, dans chaque boîte, tous les nombres pris deux à deux sont premiers entre eux.
Q₁ Déterminer er dénombrer les entiers contenus respectivement dans les boites n°1 à n°7
Q2 Déterminer respectivement les numéros des boites où se trouvent les entiers 16, 95, 161 et  2026.
Nota : La table des nombres premiers est disponible sur l’OEIS : https://oeis.org/A000040

On désigne par d₁ le iième diviseur extrait de la liste des diviseurs de l’entier n classés par ordre croissant 
i = 1,2,3,… avec d₁ = 1.
Diophante soumet à Zig ces trois équations :
 






Aidez Zig à déterminer les deux équations qui ont chacune exactement deux solutions en n entier positif < 10000 et la troisième équation qui a une infinité dénombrable de solutions.
Pour cette dernière on donnera les solutions en n ≤ 2026. Justifiez vos réponses.

Pour toute fraction rationnelle f, on définit par [f] la partie entière par défaut de f et par {f} la partie décimale = f – [f].
Par exemple f = 13/5, [f] = 2 et {f} = 3/5,  f = −3/2,  [f] = − 2 et {f} = 1/2.
On s’intéresse aux fractions rationnelles irréductibles f de la forme n/d avec n entier relatif non nul, d entier strictement positif ≥ 2, n et d sans diviseur commun > 1, telles que le produit f*[f]*{f} est un nombre entier p strictement positif.
Ces fractions f sont appelées « parfaites ».
Q₁ Déterminez les trois plus petites valeurs entières de p qui peuvent être obtenues avec trois fractions parfaites.
Q₂ Prouvez que quel que soit d ≥ 2, on sait trouver un entier relatif n sans diviseur  commun avec d tel que la fraction f = n/d est parfaite.
Prouvez qu’il y a une infinité dénombrable de fractions f parfaites qui donnent des entiers distincts.
Q₃ Parmi les cinq équations f*[f]*{f} = 1330, f*[f]*{f} = 1740, f*[f]*{f} = 2022, f*[f]*{f} = 2026, f*[f]*{f} = 2032 l’une d’entre elles n’a pas de solution en f. Laquelle ? Justifiez votre réponse.
Q₄ Est -il vrai que pour une même valeur p on peut avoir deux fractions parfaites distinctes ? trois fractions parfaites distinctes ?

Arachné l’araignée et Formica la fourmi sont respectivement au pied d’un acacia A et d’un frêne F distants de 36 mètres. Coccinella la coccinelle, située au sol à mi-distance entre ses deux comparses, voit les sommets des deux arbres sous un angle droit. Elles engagent la conversation suivante :
Coccinella : « les hauteurs respectives h_a et h_f de l’acacia et du frêne s’expriment en nombres entiers de mètres et h_a < 5h_f ».
Arachné : « je vois le frêne de son pied jusqu’au sommet sous un angle α ».
Formica : « de la même manière je vois l’acacia sous un angle qui est un multiple entier de l’angle α ».
Cher lecteur, déterminer les hauteurs des deux arbres en prouvant que la solution est unique.

Dans un repère (Ox,Oy), on trace un point P sur l’axe des abscisses et un point Q du quadrant Oxy.
Soit (Γ) le cercle circonscrit au triangle OPQ de centre ω. La première bissectrice coupe ce cercle  en un deuxième point R.
La tangente à (Γ) au point O coupe la médiatrice de OP au point ω₁ et la droite (PR) coupe la médiatrice de PQ au point ω₂. Les cercles de centres ω1 et ω₂ et de rayons respectifs ω₁P et ω_₂P se coupent en un deuxième point A. La droite (ωA) coupe le cercle (Γ₁) en un deuxième point B.
Les points A et B se projettent respectivement en A₁,A₂ et A₃ puis B₁,B₃ et B₂ sur les droites (OP),(PQ) et (QO)⁽¹⁾.
Les droites A₁A₂, A₂A₃ et A₃A₁ rencontrent respectivement les droites B₁B₂, B₂B₃et B₃B₁ aux points X,Y et Z
Question n°1
Démontrer que les triangles A₁A₂A₃ et B₁B₂B₃ sont deux triangles rectangles isocèles.
Question n°2
Démontrer que les trois cercles circonscrits aux triangles A₁B₁X, A₂B₂Y et A₃B₃Z sont concourants en un même point S.
⁽¹⁾Nota : les points P,Q,A₂ et B₃ sont sur la même droite de même que les points O,Q,A₃ et B₂.

Diophante met à la disposition de Zig six dés (D_j, j = 1 à 6) ayant chacun 6 faces entièrement blanches et un lot important de gommettes autocollantes portant les numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
Zig colle à sa convenance des gommettes sur les 6 faces de chaque dé (une gommette par face)  de sorte qu’il obtient la même somme 21 des numéros inscrits sur les six faces.
Puce choisit alors un des six dés et Zig choisit un des cinq dés restants. Ils lancent en même temps leur dé mille fois. Celui qui obtient le plus grand numéro marque un point, sinon match nul. Le gagnant est celui qui a marqué le plus grand nombre de points.
Est-il vrai qu’en plaçant de manière adéquate les gommettes sur les six dés, quel que soit le dé D_j choisi par Puce, Zig sait trouver un dé D_k qui lui permet d’obtenir plus de points que Puce à l’issue des mille lancers. Justifiez votre réponse.

On se place dans le plan euclidien. Le but du jeu est de placer le moins de points possibles tout en forçant l’existence de droites contenant un nombre précis de points. Les points ne sont pas nécessairement tous des points d’intersection de droites.
Q₁ Déterminer le nombre minimal n₆ de points dans le plan tel qu’on puisse tracer :
1)    une droite passant par exactement 1 point,
2)    une droite passant par exactement 2 points,
3)    une droite passant par exactement 3 points,
    …
6)    une droite passant par exactement 6 points.
De la même manière déterminer n₇ et n₈.

Q₂ On a tracé  un minimum de 2025 points pour tracer k droites. Déterminer k et en déduire le nombre minimal de points supplémentaires qu’il faut ajouter pour obtenir une configuration minimale contenant k+5 droites.