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Zig choisit un entier k ≥ 2 et demande à Puce de trouver le plus petit entier nk de k chiffres,non divisible par 10, qui additionné à l’entier obtenu en inversant l’ordre des chiffres de nk donne un entier dont tous les chiffres sont impairs.
Déterminer les valeurs de k pour lesquelles Puce relève le défi en trouvant cet entier nk.
Application numérique : déterminer les valeurs de nk (quand elles existent) pour k variant respectivement de 3 à 13.
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Soient p(x) et q(x) deux polynômes non constants à coefficients réels à partir desquels on détermine les deux polynômes u(x) et v(x) définis par u(x) = p(x) – q(x) et v(x) = p(x) + q(x).
Sp,Sq,Su et Sv désignent respectivement les sommes des racines de p(x),q(x),u(x) et v(x).
Sachant que Sp= 6, Sq,= 69 et Su = 38, déterminer toutes les valeurs possibles de Sv et pour chacune d’elles démontrer qu’on sait trouver des polynômes p(x) et q(x) du 1er ou du 2ème degré..
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Le ratio d’abondance d’un entier n positif est le rapport, désigné par ρ(n), de la somme des diviseurs de n à l’entier lui-même. Par exemple ρ(8) = (1 + 2 + 4 + 8)/8 = 15/8.
Q1 Prouver qu’un entier n dont le ratio d’abondance est supérieur ou égal à 4 (i.e. ρ(n) ≥ 4 ), a au moins quatre facteurs premiers distincts.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) = 4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) = 4
Q2 Prouver qu’il n’existe pas d’entier n qui a cinq facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5.
Déterminer le nombre minimum k₀ de facteurs premiers d’un entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour cette valeur k₀, déterminer le plus petit entier n qui a k₀ facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour les plus courageux : Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) = 5
Q3 Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 6
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Sur la droite qui porte le côté BC d’un triangle acutangle ABC, on trace un point courant D tel que C reste toujours compris entre B et D. Les cercles inscrits des triangles ABD et ACD se rencontrent en P et Q. Démontrer que quelle que soit la position de D, la droite PQ passe par un point fixe que l’on construira.
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On écrit sur une même ligne les 63 chiffres suivants :
Q1 Prouver qu’on peut insérer entre eux des signes « + », des signes de multiplication « x » et des parenthèses de sorte que l’expression résultante est divisible par un milliard.
Q2 Prouver que quelle que soit la liste de 63 entiers naturels, on parvient toujours à insérer entre eux des « + », des « x » et des ( ) de sorte que l’expression résultante est divisible par un milliard.
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Parmi tous les entiers à neuf chiffres qui contiennent chacun des chiffres de 1 à 9 exactement une fois, on choisit l’un d’eux au hasard*. Calculer sous la forme d’une fraction rationnelle irréductible la probabilité pour qu’il soit divisible par 11.
*par exemple en tirant une carte dans une urne qui contient toutes les cartes sur lesquelles ces entiers ont été inscrits.
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Problèmes du mois
