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Q1 Quand on divise cet entier m respectivement par les entiers 289,1010 et 1292, la somme des trois restes ainsi obtenus est égale à ce même entier. Que vaut m?
Q2 Quand on divise cet entier n respectivement par les entiers 288,500,1010 et 1028, la somme des quatre restes ainsi obtenus est égale à ce même entier. Que vaut n ?
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Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
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Soit un entier p ≥ 2.
On s'intéresse aux entiers naturels n (dont on a classé les diviseurs dans l'ordre croissant) qui sont égaux à la différence entre les puissances pième de leur troisième diviseur et de leur deuxième diviseur.
Démontrer qu'il existe un couple unique (n,p) tel que n possède 2018 chiffres.
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Soient un triangle scalène ABC, son cercle circonscrit (Γ) et un point D sur l'arc de cercle (BC) de (Γ) qui ne contient pas A.On prolonge le côté AB d'un segment BE = BD et le côté AC d'un segment CF = CD. Le cercle circonscrit au triangle BDE coupe le segment EF en un deuxième point L. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle BCL coupe EF en un point M autre que L qui est le milieu de EF
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A partir d'un entier quelconque n strictement positif, on peut réaliser les deux opérations suivantes:
1) le multiplier par un entier quelconque strictement positif,
2) supprimer tout ou partie des zéros de sa représentation décimale.
Q1 Démontrer que pour tout entier n strictement positif, on peut effectuer une suite finie d'opérations qui transforme n en un entier à un seul chiffre (1,2,3,...,9)
Q2 Démontrer qu'on sait appliquer ce régime minceur à l'entier 2018 et obtenir l'un quelconque des neuf chiffres compris entre 1 et 9.
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Problèmes du mois
