Un point P du cercle circonscrit à un triangle ABC se projette respectivement sur les droites BC et AC en deux points I et J. La droite IJ coupe la droite AB en un point K. H_a  et H_b  sont les orthocentres des triangles AJK et BIK tandis que L et M sont les milieux des segments AI et BJ. Démontrer que la droite LM passe par le milieu de CK et qu’elle est perpendiculaire aux deux droites IJ et H_aH_b .
Nota : les trois droites IJ, H_aH_b  et LM portent des noms qui justifient le titre du problème.