Problèmes proposés par Dominique Roux

17ème épisode
Dans un triangle ABC non isocèle de sommet A, on désigne par D et E les pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés CA et AB. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si les longueurs des bissectrices BD et CE sont inversement proportionnelles aux longueurs des côtés CA et AB.

18ème épisode
Dans un triangle ABC, le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et A’ est le point diamétralement opposé à A sur (Γ). La perpendiculaire issue du milieu M du côté BC à la bissectrice de l’angle en A rencontre au point D la droite [AA’]. Démontrer que D est le milieu de OA’ si et seulement si l’angle en A est égal à 60°

19ème épisode
Soient H et G l’orthocentre et le centre de gravité d’un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC. La droite [AG] rencontre le cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC en A et P . On trace le point P’ symétrique de P par rapport au côté BC. Démontrer que l’angle  CAB est égal à 60° si seulement si HG = GP’.