Soient P,Q,R les milieux respectifs des côtés BC,CA et AB d'un triangle équilatéral de surface unité. Soient X,Y et Z les milieux respectifs des segments PC, QA et RB. Les droites PY, QZ et RX se coupent aux points D, E et F (voir figure ci-après). Quelle est la surface du triangle DEF ?

On considère maintenant un triangle quelconque ABC de surface unité. P,Q et R sont les milieux respectifs de BC,CA et AB et X,Y,Z sont les milieux respectifs de PC,QA et RB. PY, QZ et RX se coupent aux points D, E et F (voir figure ci-après). Quelle est la surface du triangle DEF ?

Dernière étape : on considère un triangle quelconque de surface unité. P,Q et R sont choisis sur BC,CA et AB de telle sorte que BP/BC = CQ/CA = AR/AB = p <1 et X,Y et Z sont choisis sur les mêmes segments BC, CA et AB de telle sorte que PX/PC = QY/QA = RZ/RB = q <1.Quelle est la surface du triangle DEF ? Trouver p et q rationnels tels que la surface de DEF s'exprime sous la forme 1/n avec n entier quelconque. Donner le tableau des valeurs possibles de n entre 2 et 50 et les valeurs correspondantes de p et q. Pour quelles valeurs de p et q les droites PY, QZ et RX sont-elles concourantes ?