Problème n°1
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus et D un point à l'intérieur de ce triangle tel que :
-la différence des angles ADB et ACB est égale à 90°, -le produit p des longueurs AC et BD est égal au produit des longueurs AD et BC.
Montrer que les tangentes au point D aux cercles circonscrits aux triangles ACD et BCD sont orthogonales. En déduire la valeur du produit des longueurs AB et CD en fonction de p
Source : d'après les 34ièmes Olympiades Internationales de Mathématiques - Istanbul 1993  - énoncé 2

 

Problème n°2
ABC est un triangle isocèle où AB = AC. M est le milieu de BC et la perpendiculaire en B à AB coupe AM en O.Soit P un point quelconque de BC différent de B et de C.Démontrer que la perpendiculaire menée de P à OP coupe AB et AC en deux points D et E à égale distance de P.
Du point P on mène les droites parallèles à AC et à AB qui coupent respectivement AB et AC en Q et R.Démontrer que OP est perpendiculaire à QR.
Un droite quelconque pivote autour du point P et coupe AB et AC en deux points I et J. Dans quelles conditions le point O est-il à égale distance des point I et J

Source : d'après les 35ièmes Olympiades Internationales de Mathématiques -  Hong Kong 1994 -  énoncé 2

Problème N°3
Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus. Les bissectrices intérieures des angles A,B,C recoupent le cercle circonscrit en A', B' et C'. On appelle I le point d'intersection de la bissectrice intérieur AA' et des bissectrices extérieures des angles B et C. Les points J et K sont définis de manière analogue.
Prouver que l'aire du triangle A'B'C' est le double de l'aire de l'hexagone AC'BA'CB'.

Source : 29ièmes Olympiades Internationales de Mathématiques -  Braunschweig 1989 -  énoncé 2