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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes non résolus Equations diophantiennes
Factorielle et carré Imprimer Envoyer

Existe-t-il un couple d'entiers p > 7 et q tels que p ! = q2 - 1 ?

Il est connu que 4 ! +1 = 25 = 52, 5 !+1 = 121 = 112 et 7 !+1 = 5041 = 712. On ne connaît pas d'autre solution.

                                                                                                                                                                                                        

 

 
Les fractions égyptiennes Imprimer Envoyer

 

Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ?

Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions égyptiennes. 4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.

Il existe des solutions paramétriques couvrant les entiers de certaines progressions arithmétiques.
Par exemple:
4/(2k)=1/k+1/(2k)+1/(2k)
4/(24k+5)=1/(6k+2)+1/(72k2+39k+5)+1/(144k2+78k+10).
Mais on n'en connaît pas pour n=24k+1, par exemple.
On conjecture néanmoins (c'est la conjecture d'Erdös-Straus) que le problème est possible pour tout n.

 
Une équation ... Imprimer Envoyer

 

L'équation a5 + b5 = c5 + d5

Il existe de solutions en a, b,c,d des équations diophantiennes :

  • a2 + b2 = c2 + d2 avec 12 + 182 = 102 + 152,
  • a3 + b3 = c3 + d3 avec 13 + 123 = 93 + 103,
  • a4 + b4 = c4 + d4 avec 1334 + 1344 = 594 + 1584.

 On ne connaît pas de relation similaire pour 5 + b5 = c5 + d5

                                                                                                                                                                                                        

 

 
Côtés et segments remarquables du triangle Imprimer Envoyer

 

On sait résoudre un joli problème (cf problème D131)  dans lequel 17 longueurs dans un triangle sont toutes mesurées par des nombres entiers : les trois côtés, les trois hauteurs, les trois bissectrices intérieures et les trois bissectrices extérieures, les deux rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit et les trois rayons des cercles exinscrits (cité par Jean Moreau de Saint Martin).

Un autre problème d'énoncé plus simple n'a toujours pas de solution à ce jour : existe-t-il un triangle dont les côtés, les médianes et l'aire s'expriment avec des nombres entiers ?
 

 

 
Les distances d'un point aux sommets d'un carré Imprimer Envoyer

On considère dans le plan un carré de côté unité. Existe-t-il un point du plan dont les distances aux quatre sommets du carré s'expriment sous la forme de nombres rationnels ? En d'autres termes existe-t-il un carré de côté n entier tel qu'il existe un point du plan situé à des distances entières des quatre sommets du carré ? Aucune solution n'existe à ce jour. Voir une mise en équation.

On peut rapprocher cet énoncé d'un problème analogue sur la sphère, non résolu à notre connaissance : peut-on tracer quatre cercles de rayons rationnels sur une sphère de rayon unité tels qu'ils soient tangents deux à deux ?
Voir une mise en équation.
 

 
La brique parfaite d'Euler Imprimer Envoyer

La brique parfaite d'Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés a, b et c, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés sont tous des nombres entiers.

Aucun exemple de cette brique parfaite n'est connu à ce jour. Mais si elle existe, son volume est divisible par 12640320 . 

Voir une mise en équation  avec 7 inconnues entières et une équation de degré 4 ; pouvez-vous trouver plus simple ?

 

 


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