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Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1724. Deux en un
Problèmes par thèmes D. Géométrie D1. Géométrie plane : triangles et cercles D1724. Deux en un
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| D1724. Deux en un |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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L’énoncé ci-après regroupe deux problèmes d’olympiades chinoises de mathématiques, l’un et l’autre à la recherche de deux droites perpendiculaires.
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et dont l’angle en A est strictement inférieur à 60°. On trace le point D symétrique de A par rapport à B et le segment MI qui relie les milieux M et I de AB et de BC. La perpendiculaire à la droite [AB] passant par M rencontre le cercle (Γ) circonscrit au triangle ACD en un point N situé du même côté que C par rapport à la droite [AB]. Sur la perpendiculaire à la droite [AB] passant par C, on trace le point J extérieur au triangle ABC tel que BJ = BI. La médiatrice de BJ rencontre le cercle (γ) circonscrit au triangle ABI en un point K situé du même côté que C par rapport à la droite [AB]. Démontrer que : Q1 La droite [CN] est perpendiculaire à la droite [BC] Q2 La droite [IK] est perpendiculaire à la droite [IJ] Nota :on peut tenir compte des résultats de la question Q₁ pour traiter la question Q₂ comme on peut considérer qu’elles sont indépendantes.  Pierre Leteurtre,Pierrick Verdier,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Renfer,Thérèse Eveilleau,Maurice Bauval et Bernard Vignes ont résolu le problème. |
