Les heureux candidats admis au concours de l’IHED (Institut des Hautes Etudes Diophantiennes) sont réunis dans une salle contenant n rangées de n sièges formant un carré (n ? 3). Chacun porte un badge ...
Dans une partie de pierre-feuille-ciseaux avec n joueurs, n>1, les joueurs choisissent simultanément un des trois coups possibles en le symbolisant de la main :
La pierre bat les ciseaux ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’un mot M de n bits contient un palindrome P s’il existe dans M une suite de bits consécutifs formant un ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig choisit secrètement un montant en euros parmi et place l’argent dans une enveloppe. Puce doit deviner le montant. Si Puce devine le montant, il l’empoche ...
Je décide de verser quotidiennement sur une période de k = 33 jours la même somme s en € à trois de mes petits-enfants.Les montants versés chaque jour au benjamin, au cadet et à l’ainé sont respectivement ...
Q1 On considère la séquence des entiers a1,a2...,an telle que an est le nombre de couples d’entiers ≤ n qui joints à n forment autant de triplets de nombres premiers entre eux (i.e. ils ...
Problème proposé par Patrick Gordon Ce jeu de "bataille" renouvelé se joue à deux joueurs avec n cartes comportant chacune m symboles graphiques tous différents. Les cartes sont ainsi constituées ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin Q1 Je lance un dé six fois de suite. La probabilité pour que la séquence des numéros obtenus soit non décroissante a pour ordre de grandeur : ...
Une variable aléatoire X qui prend seulement des valeurs entières non négatives est telle que son espérance mathématique et sa variance sont égales à 1 et l’espérance mathématique de son cube ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Comme dans le problème G145, Diophante invite Alexandre, Béatrice, Charles, Delphine, Ernest à choisir une séquence de 4 lettres constituée avec les ...
N étant un carré parfait, on donne N entiers positifs distincts. Parmi ces N nombres, deux d'entre eux p et q, p < q, forment une « bonne paire » si le ratio q/p est égal à 5 ou à 7. Le nombre ...
Problème proposé par Pierre Jullien Ayant choisi un cadre quadrillé de hauteur H et de longueur L entiers, on définit une cascade comme étant une suite décroissante de L entiers inférieurs ou égaux ...
On dispose d'une liste L de n = 2k (k ≥ 1) entiers naturels distincts que l’on cherche à classer dans l’ordre croissant avec deux programmes informatiques : - le ...
Sur le pourtour du premier cercle d'un grand huit on trace au hasard les sommets d'un premier polygone convexe de p côtés puis les sommets d'un deuxième polygone convexe de q côtés. Le nombre ...
La grenouille de la fable1 se trouve sur une bande de terrain de 45 mètres de largeur bordée au sud par une route prise pour axe des abscisses et au nord par un ruisseau qui court parallélement à la ...
Problème proposé par Michel Lafond Soit l’ensemble En = Quel est le nombre maximal d’additions a1 + a2 = a3 ; a4 + a5 = a6 ... que l’on peut écrire avec des éléments de ...
Au milieu de la grande place du Palais Diophantien, Zig a installé neuf colonnes tronquées de marbre blanc aux rayures blanches et noires qui forment les sommets d'un ennéagone convexe pas nécessairement ...
Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d'une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est ...
Alice, Bernard et Caroline décident de jouer des parties de " Yam* mental" avec cinq dés supposés parfaits.Avant le début de chaque partie chacun mise 10 € puis Damien,le croupier du casino, lance les ...
Zig trace un polygone convexe de n côtés et toutes ses diagonales de sorte que trois quelconques d’entre elles ne sont jamais concourantes à l’intérieur du polygone. Parmi les triangles créés ...
Cette deuxième(1) abeille ouvrière butine à l'origine de l'axe Ox. La reine-mère lui fixe pour objectif d'aller butiner aux points d'abscisses entières positives selon la règle suivante : pour tout ...
Problème proposé par Michel Lafond
Notons [a1,a2,a3 ,a4,a5,a6] le dé qui porte sur ses faces les entiers ai pour i = 1 à 6 avec 1 ≤ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. ...
Problème proposé par Yves Foussard
On considère les combinaisons de neuf objets,étiquetés de A à I,pris trois par trois sans tenir compte de l'ordre. On obtient N = C(9,3) = 84 trios à partir ...
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les ...
On prend trois points au hasard sur une sphère. Quelle est la probabilité que les cordes qui les joignent forment un triangle acutangle ?
Problème proposé par Leslie F. Reid, paru ...
On prend trois points au hasard sur une sphère.
Quelle est la probabilité que le triangle sphérique ayant ces points pour sommets ait ses angles aigus ?
Problème proposé par Leslie ...
Dans l'île paradisiaque de Pentagonie un chemin de fer touristique fait un tour complet dans les deux sens en passant par les cinq villes A,B,C,D et E. ...
36 étudiants participent à un concours de mathématiques qui comporte n questions à choix multiples avec 6 réponses possibles pour chacune des questions. A l'issue du concours, il apparaît que deux copies ...
Je joue une partie avec deux dés à la manière du BlackJack. Je lance les deux dés autant de fois que je le souhaite. A l'issue de chaque lancer, je calcule la somme des numéros obtenus puis le cumul ...
Déterminer la plus grande valeur possible de l'entier N tel qu'en choisissant 1227 entiers distincts parmi les entiers ,on sait toujours trouver deux d'entre eux dont le produit est un carré parfait. ...
L'entier 1 est placé à chacune des extrémités d'un (très long) segment. La première étape consiste à insérer sur le segment entre ces deux nombres leur somme, c'est à dire le nombre 2. A l'étape suivante,on ...
Zig a tracé un polygone régulier de k côtés et dit à Puce:"Quand je choisis au hasard1 trois sommets de ce polygone, la probabilité d'obtenir un triangle isocèle est égale à 1/3. Peux-tu me dire quel ...
Gamabunta le crapaud géant est féru d'analyse combinatoire. Chaque matin, partant d'un point O, il a coutume de se rendre en sept points A,B,C,D,E,F et G régulièrement espacés de p mètres ...
Problème proposé par Pierre Forest On désigne par N(i,j) le nombre de colliers différents contenant i perles en tout et où exactement j couleurs distinctes sont présentes,sans retournement ...
Zig met dans une urne n boules numérotées 1,2,3,...n puis il effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise. Il constate qu'il a exactement une chance sur neuf pour que les trois numéros ...
Deux structures métalliques qui ont respectivement la forme d'un icosaèdre régulier et d'un dodécaèdre régulier sont suspendues à un fil par l'un de leurs sommets. Les deux structures s'inscrivent ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Pour représenter les étapes de montagne du Tour de France, Puce utilise un quadrillage dans lequel il trace un chemin de longueur 2n partant du point (0,0) ...
Problème proposé par David Draï
Une position aux échecs est un arrangement (orienté) de pièces d'échecs placées sur un échiquier de taille donnée. Dans la suite, nous considèrerons toutes les positions ...
Vous lancez un dé à 6 faces supposé parfait autant de fois que vous le souhaitez et vous calculez la somme des numéros obtenus depuis le premier lancer. Quand vous vous arrêtez, la somme devient votre ...
Problème proposé par David Draï Soit Aq(n) le nombre de sous-ensembles B de l’ensemble qui satisfait deux conditions : 1) B a exactement n éléments, 2) La somme des éléments de B est divisible par ...
Problème proposé par Pierre Dumont Trois points A,B,C sont pris au hasard a/ à l'intérieur d'un cercle, b/ à l'intérieur d'une sphère. Dans chacun des deux cas, quelle est la probabilité qu’ils forment ...
Problème proposé par Pierre Jullien Un n-lot de cerceaux est un ensemble de n cercles Ck , qui ne se coupent pas deux à deux, de rayons respectifs 3k. Deux n-lots de cerceaux sont considérés comme ...
Problème proposé par Michel Lafond. On lance n fois un dé non pipé et on calcule les effectifs cumulés X1(n), X2(n), X3(n), X4(n), X5(n), X6(n) d’obtention des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Démontrer ...
Zig et Puce réarrangent les termes de la suite des n premiers nombres entiers 1,2,...,n. Zig obtient une suite à partir de laquelle il calcule la somme des n − 1 produits des termes consécutifs pris ...
Je dispose d'une collection de n1 objets distincts avec n1 ≤ 2019. Je constate qu'il existe un entier n2 < n1 tel qu'il y a autant de combinaisons de n2 objets pris parmi n1 − 1 objets que de combinaisons ...
Ce mystérieux entier N a les caractéristiques suivantes : – il est inférieur à 2019, – il a seulement deux facteurs premiers, – il y a exactement ...
Problème proposé par Elie Stinès Nouvelle punition pour Zig et Puce (incapables de réciter convenablement leurs tables de logarithmes et pour qui le passage au collège semble bien compromis) : Ils ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Je fais une série de lancers d’un dé en totalisant les points obtenus ; si je me fixe une certaine valeur r (2020 par exemple), quelle est la probabilité ...
Problème proposé par Pierre Renfer En musique dodécaphonique, on utilise comme notes les douze demi-tons de la gamme bien tempéré, à une octave près.On peut donc assimiler l’ensemble des notes au groupe ...
Problème proposé par Leteurtre E est l'ensemble des nombres décimaux de 9 chiffres de 0 à 9, tous différents. Q1 Déterminer le cardinal de E Q2 On extrait de E le sous-ensemble des nombres N tels ...
Une fonction f est définie sur l’ensemble des entiers n strictement positifs par les relations : f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = n, f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n) et f(4n + 3) = 3f(2n + 1) – 2f(n). On appelle ...
Problème proposé par Augustin Genoud La directrice d’une agence de tourisme a l’habitude de préparer succinctement des projets d’activités pour les touristes. A différents moments de la journée, elle ...
Problème proposé par Michel Lafond Combien voyez-vous de polygones* dans la figure ci-dessous ? ...
On choisit au hasard quatre points A,B,C,D indépendamment les uns des autres, dans les quadrants respectifs Nord Ouest, Nord Est, Sud Est et Sud Ouest d’un carré dont les sommets ont pour coordonnées ...
A PizzaTech les pizzas sont de forme circulaire et elles sont découpées par un robot. Celui-ci choisit au hasard et indépendamment l’un de l’autre deux points sur la circonférence de la pizza ...
Problème proposé par Nicolas Petroff Avec k et p entiers tels que 2 ≤ k ≤ p et , démontrer que
Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon ont démontré la formule.
Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101. Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de tels que ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Tirant des nombres au hasard dans l’intervalle (0,1), je les additionne un à un, arrêtant dès que le total dépasse l’entier k fixé à l’avance. Partant ...
On place 2022 boules numérotées de 1 à 2022 sur une même rangée dans l’ordre croissant des numéros de gauche à droite. On tire au hasard une première boule puis une deuxième située à droite de la ...
Puce trace n = 1,2,3,....points le long de la circonférence d'un cercle puis les cordes qui joignent ces points pris deux à deux de sorte que trois quelconques d’entre elles ne sont jamais concourantes ...
Q1 Déterminer l’entier m tel que le coefficient binomial C(2m,m) est divisible par 256 mais pas par 512 et le coefficient binomial C(2m + 52, m+26) est divisible par 2 mais pas par 4. Q2 Déterminer ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Un chemin de Dyck à p monts et de longueur 2n est défini par une suite de segments U (pour Up) et de segments D (pour Down), organisés en une alternance ...
Problème proposé par Pierre Renfer On accroche sur un fil d'étendage n paires de chaussettes de n couleurs distinctes, deux chaussettes d'une même paire étant indiscernables. 1) Combien ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Un échiquier est scié selon les limites des cases. On réassemble les cases pour reformer un échiquier complet, mais sans attention à la place initiale ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Combien d'entiers distincts peut-on écrire si les chiffres dont on dispose sont 1, 3, 6, 7, sachant qu'un chiffre c peut être utilisé au ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Elle contient 100 boules de 10 couleurs, mais dans des proportions inconnues ; on sait seulement que si on extrait 95 boules, on aura parmi elles au ...
En vue de la prochaine Convention des Jeunes Mathématiciens en herbe, Alice, Bernard, Caroline et Damien préparent un exposé sur la théorie des ensembles illustré avec des diagrammes de Venn. Il ne ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Je range mes billes (sphères de même diamètre) en tas de forme pyramide tronquée. La base est une assise carrée ou triangle équilatéral. Chaque assise ...
Un club comporte n membres auxquels ont été attribués les numéros d’inscription 1,2,3,...n. Comme le font traditionnellement les Japonais, ces membres se font souvent des cadeaux entre eux et il est ...
Q1 : Relier huit points du plan par douze arcs de cercles tels que trois arcs partent d’un même point et chaque arc est coupé par deux autres arcs. Q2 : Relier dix points du plan par quinze arcs de ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’un entier positif n est magique si on peut placer les entiers de 1 à n dans n cases d’un carré de côté c, de manière que les c lignes, les c colonnes ...
Du lundi au vendredi, Jones fait de bon matin sa distribution de bouteilles de lait dans cinq quartiers différents de la grande banlieue londonienne. Selon les jours de la semaine,il dessert un ...
Une assemblée de trois personnes ou plus est dite « conviviale » si dans tout sous-groupe de trois personnes, on trouve au moins deux personnes qui se connaissent. Cette assemblée conviviale a le plus ...
Problème proposé par Christian Boyer Zig et Puce jouent une partie en trois manches.Dans la première manche, ils disposent chacun d’une grille vierge de dimensions 4 x 4. Avec sa grille Zig commence ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Q1 : On veut relier (dans une parcelle plane) les 3 usines fournissant eau,gaz et électricité à 3 maisons, sans que des canalisations se croisent. ...
Problème proposé par Michel Lafond
Un échiquier de n × n cases contient au départ n tours sur la ligne du bas.
Chaque tour peut se déplacer comme aux échecs, mais son trajet doit être maximal, c’est-à-dire ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Q1 : Zig fait de la poterie et a offert à Puce un vase avec deux grosses anses. Puce a commencé à le décorer et voudrait que chaque tache de ...
Malgré l’interdiction, Zig se baigne en plein milieu d’un étang qui a la forme d’un carré ABCD de 200 mètres de côté quand il voit apparaître le garde-champêtre au sommet A. Ce dernier ne sait pas ...
Zig et Puce jouent une partie de taquin sur damier 5 x 5 qui contient 13 pions noirs et 12 pions blances ainsi placés. Zig commence la partie en retirant un pion noir de son choix puis il fait ...
Problème proposé par Michel Lafond Sur un échiquier infini, il y a le roi noir, le roi blanc et deux tours blanches. Le roi noir n’est pas en échec. C’est aux Blancs de jouer. Montrer que les ...
On trace cinq points à l'intérieur d'un carré unité, côtés inclus. On part de l'un des points numéroté 1 et on trace le segment de droite joignant ce point au point le plus proche* numéroté ...
Problème proposé par Michel Lafond Si n est un entier au moins égal à 2, on considère dans le plan les n2 points de coordonnées (i, j) avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n. Il ...
Grille proposée par Michel Lafond Résoudre le sudoku ci-dessous dont une case et une seule contient un chiffre erroné. Nota: on rappelle qu’un sudoku a une solution unique.
Michel Lafond,Maurice ...
Problème proposé par Bernard Vignes Deux compagnies aériennes sont consultées pour assurer la desserte de plusieurs métropoles régionales. Le cahier des charges fixe l'objectif de créer le plus ...
Problème proposé par Jean-Louis Legrand
On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1.Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance ...
Problème proposé par Michel Lafond Il se joue sur une partie du plateau du jeu "Les dames chinoises". Il contient au départ uniquement 10 pions rouges. Il faut faire traverser ces 10 pions dans le ...
Dans un quadrillage de dimensions 5x5, trouver le plus long chemin constitué d'une séquence de segments de droite reliant des points de coordonnées entières de telle sorte que: - les segments ...
Problème proposé par Simon Pellicer La commune de Diophantix a la forme d'un carré de 3 kilomètres de côté et compte 200 habitants qui occupent des maisons individuelles réparties aléatoirement ...
Trouver le plus court chemin qui permet à un fou de visiter toutes les cases blanches d'un échiquier 8 x 8 dans les trois cas suivants: Q1 la distance parcourue totale D est la ...
Zig vient de planter dans son parc onze ginkgos biloba à l'intérieur d'une parcelle carrée (bords compris) dont un des sommets est l'origine O et deux côtés adjacents partant de O sont pris pour axes ...
Problème proposé par Pierre Renfer Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est : En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante ...
Problème proposé par Michel Lafond Je définis une roue magique d’ordre n ≥ 3 comme un ensemble de 2n points, composé des n sommets et des n milieux des côtés d’un polygone régulier convexe à n sommets. ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig est au centre d’un labyrinthe carré de n x n cases [n entier impair ≥3] dans lequel chaque case contient une flèche indiquant la direction à prendre. À chaque ...
Problème proposé par Raymond Bloch Sur un échiquier de taille illimitée 81 jetons sont placés sur chacune des cases d'un carré 9 x 9.Comme dans le casse-tête du Solitaire, le jeu consiste,à chaque ...
Problème proposé par Michel Lafond On connaît bien l’hexagone magique d’ordre 3 ci-contre (proposé en 1895 par William Radcliffe) La somme constante des 15 alignements vaut 38. Il a fait l’objet de ...
Problème proposé par Michel Lafond
Rappelons qu’un carré magique d’ordre n (traditionnel) noté CMn est un carré de n × n cases, rempli par les nombres 1, 2, 3, …, n2 de telle sorte que les sommes ...
La rivière Maeandrica a les caractéristiques suivantes: - si l'on se place en un point quelconque du bord de l'une ou l'autre des deux rives, on est toujours à moins de 50 mètres de la rive opposée. ...
On dispose d'un très grand nombre de petits soldats disposés sur un quadrillage infini dans le demi-plan inférieur délimité par une ligne rouge.
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Problème proposé par Francis Gaspalou Il est bien connu qu’il existe des carrés d’ordre pair dits « compacts » (ou« compacts 2 ») et des carrés d’ordre 9 dits « compacts 3 ». Ex 1 : le carré d’ordre ...
Problème proposé par Michel Lafond Justifier l’existence d’un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. ...
