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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2. Combinatoire - Dénombrements

Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101. Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4,…,p – 2,p – 1} tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par p est égal à 5^₍₁₎. Il pose la même question à Puce avec le nombre premier q.
Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.
Déterminer p et q.

⁽¹⁾Nota : par exemple avec p = 7, l’ensemble {1,5,6} qui est un sous ensemble de {1,2,3,4,5,6} a pour somme de ses termes 12 dont la division par 7 a pour reste 5. Il en est de même du sous-ensemble {3,4,5}

Solution