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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2921. Circuits en Pentagonie Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

calculator_edit.png  

Dans l'île paradisiaque de Pentagonie un chemin de fer touristique fait un tour complet dans les deux sens en passant par les cinq villes A,B,C,D et E.
            G2921
Des billets sont proposés pour des circuits de k trajets de ville à ville commençant et se terminant en A,sachant que le train s'arrête systématiquement dans chacune des villes où il passe.
Par exemple quand le train fait un aller-retour de A à C en passant par B,il y a quatre trajets de ville à ville :
A - B - C - B - A. Quand le train fait un tour complet dans le sens horaire puis poursuit son circuit avec un aller-retour en B, il y a au total sept trajets de ville à ville: A - E - D - C - B - A - B - A
Q1 Pour k variant de 2 à 10, de combien de façons différentes peut-on effectuer un circuit de k trajets de ville à ville qui commençent et se terminent en A avec d'éventuelles étapes intermédiaires en A?
Pour les plus courageux: donner une formule générale du nombre de façons différentes d'effectuer k trajets qui commencent et se terminent en A.
Q2 La compagnie de chemin de fer envisage de construire une liaison nouvelle entre A et C ou bien entre B et D ou bien entre B et E.
Laquelle de ces trois nouvelles liaisons offre le plus de circuits différents de 10 trajets qui commencent et se terminent en A?


pdfGwenaël Robert et pdfJacques Guitonneau ont résolu le problème.
Nota: ce problème est une variante d'une chronique publiée par le mathématicien et vulgarisateur anglais bien connu Ian Stewart dans son ouvrage "Visions géométriques".pdfSolution en VF de Ian Stewart.

 
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