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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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B131 La grille de sommes Imprimer Envoyer
B. Carrés et figures magiques

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Problème proposé par Christian Boyer
Zig et Puce jouent une partie en trois manches.Dans la première manche, ils disposent chacun d’une grille vierge de dimensions 4 x 4. Avec sa grille Zig commence par écrire le nombre 1 dans une case de son choix tandis que Puce avec sa propre grille inscrit ce même nombre dans deux cases de son choix qui n’ont ni côté ni sommet commun. Puis chacun  choisit un ordre de remplissage des  cases restantes (15 pour Zig et 14 pour Puce) en écrivant dans chaque case non encore remplie  un nombre égal à la somme des nombres contenus dans les cases qui partagent avec elle un côté ou un sommet commun. Quand chacun a complètement rempli sa propre grille, le plus élevé  des 16 nombres donne la valeur de remplissage appelée Z(4) pour Zig et P(4) pour Puce.Le vainqueur de cette première manche est celui qui obtient la valeur de remplissage la plus grande et il marque un point. En cas d’ex-aequo, chacun marque un demi-point.Dans les deuxième et troisième manches, Zig et Puce opèrent de la même manière avec des grilles de dimensions respectives 5 x 5 et 6 x 6.
Chacun joue le mieux possible avec l’objectif de gagner. Qui gagne la partie ? Justifier votre réponse.
Pour les plus courageux : existe-t-il une méthode qui permet de déterminer Z(n) et P(n) pour n quelconque fixé à l’avance.



pdfMichel Lafond et pdfChristian Boyer sont d'accord pour donner Puce vainqueur de Zig sur le score de 2 à 1.
Zig gagne la première manche en obtenant avec une grille 4 x 4 une valeur de remplissage de 2473 tandis que Puce obtient une valeur de 2230 avec une grille de même dimension.
A l'inverse Puce gagne les deux autres manches avec des valeurs de remplissage égales à 349 712 avec une grille 5 x 5 et 150 941 453 avec une grille 6 x 6  contre respectivement 297 136 et 128 493 518 dans les grilles de Zig.
 
Commentaires du webmaster: Une recherche exhaustive sur ordinateur de toutes les configurations possibles a montré que  les valeurs de remplissage des grilles 4 x 4 égales respectivement à 2230 et à 2473 selon que l'on inscrit au départ un seul 1 ou deux fois 1 sont bien optimales. Pour les dimensions supérieures cette recherche reste à faire.Le problème reste donc ouvert.
 
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