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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2958. Dodécaphonisme Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Problème proposé par Pierre Renfer

En musique dodécaphonique, on utilise comme notes les douze demi-tons de la gamme bien tempéré, à une octave près.On peut donc assimiler l’ensemble des notes au groupe Z/12Z des entiers, modulo 12.
On appelle série un dodéca-uplet (a1,a2,a3,....,a12) de douze notes distinctes.
Sur l’ensemble Σ des 12 ! séries, on considère les quatre transformations suivantes :
Le déphasage D transforme la série (a1,a2,a3,....,a12) en la série (a2,a3,....,a12,a1)
La rétrogradation R transforme la série (a1,a2,a3,....,a12)  en la série (a12,a11,a10,....,a2,a1).(On joue la série à l’envers)
La transposition T transforme (a1,a2,a3,....,a12)  en  la série (a1 + 1,a2 + 1,a3 + 1,....,a12 + 1)(On ajoute un demi-ton à chaque note)
La symétrie S transforme (a1,a2,a3,....,a12) en  la série (– a1, a2, a3,...., a12)
On note G le groupe engendré par ces quatre transformations de Σ
Question 1
Montrer que le groupe G est d’ordre 576
Question 2
On fait opérer le groupe G sur Σ. Combien obtient-on d’orbites (classes d’équivalences de séries) ?



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