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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G149. Gagner contre le hasard Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités

calculator_edit.png  

Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d'une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2016, z1 ≤ z2 ≤ z3 écrits par Zig et p1 ≤ p2 ≤ p3 écrits par Puce.Puis ils comparent les six nombres: z1 à p1 puis z2 à p2 et enfin z3 à p3. Le joueur dont deux de ses nombres sont strictement plus élevés que ceux de l'adversaire gagne la partie. A défaut la partie est déclarée nulle.
A chaque partie, Puce fait confiance à un programme informatique qui génère aléatoirement les trois entiers p1,p2 et p3 . Zig à l'inverse choisit ses trois entiers z1,z2 et  z3 afin d'optimiser ses chances de gain et fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d'entiers.
Démontrer que l'espérance mathématique du nombre de parties gagnées par Zig est au moins égale à 75.

Solution

pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPierre Henri Palmade,pdfJacques Guitonneau et pdfFrancesco Franzosi ont résolu tout ou partie du problème.

De son côté pdfThérèse Eveilleau a complété sa solution en concevant sur son site Bienvenue en Mathématiques Magiques  une animation qui donne instantanément la probabilité de gain de Zig en fonction du triplet d'entiers qu'il choisit. Cette animation permt d'identifier rapidement la zone à l'intérieur de laquelle Zig a une probabilité de gain dans chaque partie au moins égale à .75

Une fois n'est pas coutume, on trouvera également la pdfsolution proposée par le webmaster de www.diophante.fr
 
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