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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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Facile

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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B133. Dürer a de la classe Imprimer Envoyer
B. Carrés et figures magiques

calculator_edit.png  nouveau 

Problème proposé par Pierre Renfer
Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est :     
B133






En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante :
La somme de deux nombres symétriques par rapport au centre du carré est toujours 17.
Appelons carrés magiques de Dürer  ceux qui possédent cette propriété.
Cette propriété est conservée par les huit isométies du carré et par les six transformations involutives R, S, T, R’, S’, T’ définies ainsi :
S échange les lignes 1 et 4 en conservant globalement les colonnes.
T échange les lignes 2 et 3 en conservant globalement les colonnes.
R échange les lignes 1 et 2 ainsi que les lignes 3 et 4 en conservant globalement les colonnes.
S’ échange les colonnes 1 et 4 en conservant globalement les lignes.
T’ échange les colonnes 2 et 3 en conservant globalement les lignes.
R’ échange les colonnes 1 et 2 ainsi que les colonnes 3 et 4 en conservant globalement les lignes.
Question 1
Montrer que le groupe de transformations G engendré par les huit isométries du carré et les six transformations R, S, T, R’, S’, T’ est d’ordre 128.
Question 2
On fait opérer le groupe G sur l’ensemble E des carrés magiques de Dürer qui contiennent tous les entiers de 1 à 16.
Combien existe-t-il de classes d’équivalence (ou d’orbites) ?
Donner un carré représentant pour chaque classe.



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Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0.

Q1 : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23.

Quel entier s'écrit ab ?

Q2 : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139.

Quels entiers s'écrivent ab ?

Q3 : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13.

Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ?

Q4 : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48.

Quel entier s'écrit abc ?

Q₅ : abcd9e41f  est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168.
Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f?

Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.

 
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