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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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H146. Maisons et usines Imprimer Envoyer
H. Graphes et circuits

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Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q1 : On veut relier (dans une parcelle plane) les 3 usines fournissant eau,gaz et électricité à 3 maisons, sans que des canalisations se croisent. Montrez l’impossibilité à partir de la relation de Descartes S + F A = 2,où S est le nombre de sommets du graphe représentant ce réseau, F son nombre de faces, A son nombre d’arêtes.

Q2 : Vous avez construit un pont pour qu’une canalisation puisse en franchir une autre. Qu’en résulte-t-il pour la quantité S+F A? Quelles sont les nouvelles possibilités de réseau entre p usines et q maisons ?

N.B. Observez que cette adjonction d’un pont, qui a une certaine épaisseur,équivaut à souder un tube en forme d’anse sur la surface de départ, plane ou sphérique, produisant une surface équivalente (homéomorphe) à un tore.

Q3 : Au lieu de construire un pont pour éviter un chevauchement, vous avez pratiqué dans la parcelle une coupure, recollée après vrillage d’un demi-tour. Qu’en résulte-t-il pour la quantité S +F A? Quelles sont les nouvelles possibilités de réseau entre p usines et q maisons ?



pdfJean Moreau de Saint Martin a résolu le problème.
 
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