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Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2915. Lancers à répétition
Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2915. Lancers à répétition
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| G2915. Lancers à répétition |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Problème proposé par Michel Lafond Notons [a1,a2,a3 ,a4,a5,a6] le dé qui porte sur ses faces les entiers ai pour i = 1 à 6 avec 1 ≤ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. On note Sn(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) le nombre de sommes distinctes qu’on peut obtenir en lançant n fois le dé [a1,a2,a3 ,a4,a5,a6] Q1 Démontrer que pour tout dé Sn(a1,a2,a3 ,a4,a5,a6) ≤ C(n+5,5) *Q2 Démontrer que ce maximum peut être atteint par un choix convenable des ai pour tout entier n ≥ 1. Q3 Pour n = 2,3,4 ou 5, trouver des ai pour i = 1 à 6 tels que Sn(a1,a2,a3 ,a4,a5,a6) = C(n+5,5)* avec a6 minimal. Exemple : pour n = 2, le maximum C(7,2)* = 21 est atteint avec le dé [1, 2, 5, 11, 13, 18] qui, lancé deux fois, peut donner les 21 sommes{2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 31, 36} et a6 est le minimum possible. * Nota : C(p,q) désigne le nombre de combinaisons de p objets pris q à q.
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