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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2915. Lancers à répétition Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Problème proposé par Michel Lafond

Notons [a1,a2,a,a4,a5,a6] le dé qui porte sur ses faces les entiers ai pour i = 1 à 6 avec 1 ≤ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6.

On note Sn(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) le nombre de sommes distinctes qu’on peut obtenir en lançant n fois le dé [a1,a2,a,a4,a5,a6]

Q1 Démontrer que pour tout dé Sn(a1,a2,a,a4,a5,a6) ≤ C(n+5,5) *
Q2 Démontrer que ce maximum peut être atteint par un choix convenable des ai pour tout entier n ≥ 1.

Q3 Pour n = 2,3,4 ou 5, trouver des ai pour i = 1 à 6 tels que Sn(a1,a2,a,a4,a5,a6) = C(n+5,5)* avec a6 minimal.
Exemple : pour n = 2, le maximum C(7,2)* = 21 est atteint avec le dé [1, 2, 5, 11, 13, 18] qui, lancé deux fois, peut donner les 21 sommes{2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 31, 36} et a6 est le minimum possible.
* Nota : C(p,q) désigne le nombre de combinaisons de p objets pris q à q.

 

 

 
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