Q1 : Pour tout entier naturel positif n, existe-t-il au moins un multiple de n qui contient tous les chiffres de 0 à 9 ? Q2 : Trouver un entier n de cinq chiffres non nuls tous distincts qui est égal ...
Soient : - Pn le produit des n premiers nombres premiers = p1p2p3..pn avec p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5,... - pn+1 le (n+1)ième nombre premier, - Qn le produit de n nombres premiers impairs ...
Q? : Tous les chiffres de 0 à 9 sauf l’un d’eux figurent dans l’entier égal à 229. Sans calculer cet entier, donner le chiffre manquant. Q? : Déterminer les entiers naturels positifs strictement inférieurs ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle extension d’un entier N > 0 tout entier dont l’écriture décimale est obtenue en écrivant N suivi d’un nombre quelconque de "1". Par exemple, les ...
Q? : Soit un entier n qui est une puissance de 2.Démontrer que parmi 2n – 1 entiers naturels, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[***] Q? : Généraliser avec un entier n ...
1ère pincée : trouver tous les entiers naturels a et b tels que 1 < a < b et dont la différence entre leur plus petit commun multiple (PPCM) et leur plus grand commun diviseur (PGCD) est ...
Cet entier n est le produit de deux nombres premiers jumeaux p et p + 2. On calcule le produit P(n) de la somme σ(n) des diviseurs positifs de n (1 et n inclus) par le nombre σ(n) des entiers positifs ...
Q? - Dénombrer les entiers n inférieurs ou égaux à 2012 tels que 3n + 5n + 7n + 11n + 13n + 17n + 19n est un nombre premier. Q? - On donne un entier positif k quelconque. Sait-on trouver un entier ...
Montrer qu’il existe 2012 nombres rationnels pas nécessairement distincts entre eux, compris dans l’intervalle ouvert ] -2, 2 [ et dont la somme et le produit sont égaux à 1.[*] Même question avec ...
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver ...
Si besoin avec l’aide d’un automate,vérifier qu’on sait trouver : 1)au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de 2013. [*] 2)au moins un entier n tel que la somme desn petit n possible.[*] ...
Remarque liminaire : pour toute décision, calculette, tableur et programme informatique sont interdits. 1ère décision : décider en fonction de l’entier positif n si la partie entière par défaut de ...
Trouver un polynôme du 3ème degré P(x) dont les racines et celles des polynômes P’(x) et P'’(x) obtenus par deux dérivations successives sont toutes des nombres entiers distincts (positifs, négatifs ...
Q₁ – Démontrer que si un entier n est la somme de trois carrés parfaits non nuls, alors le carré de n peut lui-même s’exprimer comme somme de trois carrés parfaits non nuls. Q₂ – Trouver les suites ...
P1 : Des entiers positifs sont dits « semblables » s’ils sont écrits avec les mêmes chiffres. Par exemple : 112,121,211 écrits avec deux chiffres ‘1’ et un chiffre ‘2’. Trouver le plus petit entier ...
On dispose de 9 pièces de monnaie toutes de même apparence et une seule d’entre elles est vraie. Quatre pièces de même poids sont plus légères que la pièce vraie et les quatre dernières également ...
Q₁ : Soit un nombre premier p. Montrer qu’il existe au moins un entier positif n tel que la représentation décimale de pⁿ contienne exactement 2013 zéros à la queue leu leu. Q₂ : Existe-t-il un entier ...
Pb1 ** Je suis un entier naturel de 6 chiffres. On supprime l’un de mes chiffres et le nombre résultant qui ne commence pas par un zéro me divise. On continue le processus en supprimant un chiffre ...
Tout entier naturel n dont la somme de ses diviseurs σ(n) est strictement supérieure à 2n est appelé abondant. Il est déficient quand σ(n) < 2n.(1).
Q1Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver ...
Zig affirme que : 1) le plus petit entier naturel qui a exactement 1000 diviseurs est plus grand que le plus petit entier naturel qui a exactement 1200 diviseurs. 2) le plus petit entier naturel qui ...
Un entier naturel k-partageux est le plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.On désigne par s(k) le terme général de la suite S des termes k-partageux.Les premiers ...
Démontrer que pour tout n ≥2, la somme des n premiers nombres premiers (2,3,5,7,11,etc...)est comprise entre n2 et n3 et celle de leurs carrés entre n3 et n4. Pour les plus courageux : pour ...
Q1 Démontrer que pour tout entier n ? 4, on sait trouver un entier k indépendant de n tel que 3n peut être représenté sous la forme 3n = ka2 + b2 avec a et b entiers distincts de même parité ...
Un nombre entier N positif est appelé « docile » si on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, ...
Q1 - Passage en première... Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances ...
Problème proposé par Bernard Vignes M1 Les couples d’entiers (a,b) obéissent aux conditions suivantes : - 1 < a < b, - les diviseurs premiers de a et de b ...
Q1 [*] Déterminer tous les entiers k tels que 1! + 2! + 3! + ...+ k! est un carré parfait. Q2 [***] Déterminer tous les 4-uples d’entiers strictement positifs (n,a,b,c) avec a,b et c pas nécessairement ...
Pour tout entier positif n on désigne par τ(n) le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et lui- même. Q₁ Pour chacune des valeurs de k = 2,3,4,5,6,7 existe-t-il ou non un entier n tel que τ(n²) = k.τ(n) ...
Un entier naturel n est dit « pentaphile » s’il existe cinq entiers naturels a < b < c < d < e tels que a divise b qui divise c qui divise d qui divise e et n = a + b + c + d + e. Dans le ...
On met une étiquette bleue à tout entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 ...
Q1 Trouver un nombre entier composé N1 de dix chiffres qui reste composé quand on change l'un quelconque de ses dix chiffres par un autre chiffre. Montrer qu'il existe une infinité de ...
On considère une suite de 7 nombres entiers positifs. On calcule les différences en valeur absolue de ces entiers pris deux à deux puis le produit P de toutes ces différences.Trouver le plus grand entier ...
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de cinq énigmes qui ont été préparées par Raymond Bloch et mettent le nouveau millésime à l'honneur. 1ère énigme ...
Pour tout entier n, on note s(n) la somme des restes des divisions successives de n par 1,2,3,...,n. Q1 - p étant un nombre premier, on sait que s(p) = 721010 et s(p-1) = 718995. En déduire p ...
Deux puissances d'entiers d'ordre ≥ 2 sont dites parallèles entre elles si l'une et l'autre ont le même nombre de chiffres et si la plus grande s'obtient en additionnant un même chiffre ...
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10. Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres ...
Q1 Trouver l’entier n à 3 chiffres qui est en même temps : - la somme de deux entiers tels que n2 s’obtient par concaténation de ces deux entiers - la somme de trois ...
Note liminaire : désigne la partie entière par défaut et la partie décimale d'un nombre réel x positif. Q1 On pose x = (1 +√2)n . Déterminer selon la parité de n la limite de quand n tend vers l'infini. ...
On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 ...
Un carré parfait n2 est tel que le nombre obtenu en supprimant son dernier chiffre z est encore un carré parfait m2 > 0. Le triplet d'entiers positifs (n,m,z) est dit « carrément magique » ...
On considère l'équation (E) : xy = yx avec x et y nombres distincts définis sur l'ensemble des nombres rationnels positifs. Q1 : démontrer qu'il existe une infinité de solutions ...
Q1 Vérifier avec l'aide d'un automate qu'il existe cinquante entiers consécutifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres [*] Q2 Démontrer que pour tout entier positif n , il ...
Ce vase en verre de Murano a pour vide intérieur un prisme droit à base carrée de 12 cm de côté et de 48 cm de hauteur.La face supérieure est ouverte.Le fond et les parois latérales sont de même épaisseur. ...
Problème proposé par Jacques Boudier
Q1 Existe-t-il quatre entiers distincts non nuls a, b, c et d qui respectent l'égalité a2 + b2 = c2 + d2 avec la contrainte : le produit cd est un multiple ...
Q1 Déterminer trois entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas le troisième. Q2 Déterminer quatre entiers positifs tels que la différence ...
Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N,k) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive. Par exemple 12 est résistant ...
Q1 Déterminer la valeur minimale positive de 12m − 5n pour m et n entiers strictement positifs. Q2 Déterminer le plus petit écart en valeur absolue entre 2m et 181n pour m et m entiers strictement positifs. ...
1ère énigme [*] Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... ...
Q1 Démontrer que tout entier n peut être tricoté avec deux progressions arithmétiques de trois entiers appelées "mailles" et telles que n = a1b1 + a2b2 + a3b3. Q2 Démontrer qu'il existe un nombre ...
On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible. Ainsi p1 = 2018 et p2 = 2016 avec ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On considère la suite xn définie par: Q1 Calculer les valeurs exactes de x3, x4 et x5. Q2 Quand n tend vers l'infini calculer la limite ...
Q1 Déterminer le plus petit entier qui est de quatre manières différentes l'hypoténuse d'un triangle pythagoricien. [*] Q2 Trouver quatre nombres rationnels strictement positifs tels que le carré de ...
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018 ...
A résoudre, au choix en tout ou partie: Q1 Le polynôme P1(x) de degré 2016 est tel que P1(x) = 1/x pour x prenant les valeurs entières 1,2,...,2017. Calculer P1(2018). Q2 Le polynôme P2(x) de ...
Le classique parmi les classiques [* à la main] Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine ...
Démontrer qu'on sait trouver trois fractions irréductibles dont les dénominateurs sont tous distincts telles qu'en calculant les différences de ces fractions prises deux à deux, les dénominateurs ...
Problème suggéré par Augustin Genoud Jules possède des billes d’apparence identique. Il sait qu’elles sont toutes de masses légèrement différentes. Il aimerait les classer, dans l’ordre, de la plus ...
Q₁ a) Déterminer le nombre réel x compris entre 2019 et 2020 tel que la somme de son inverse et de sa mantisse(1) est égale à 1. b) Déterminer le nombre réel x tel que la somme de son inverse ...
Q₁ Trouver les plus petits entiers positifs divisibles respectivement par 2,3,5,7,11 et 13 et dont les dix derniers chiffres sont distincts. [*]. Q₂ Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer ...
Problème proposé par Patrick Gordon Zig soumet à Paul, Alice et Émile une liste de 4 entiers positifs distincts et demande à chacun de former la somme-produit ab+cd, où a,b,c et d sont une permutation ...
Problème proposé par Michel Boulant Soit un nombre premier p. On désigne par N(p) le nombre de façons de présenter 1/p comme somme de trois fractions égyptiennes pas nécessairement distinctes. Q1 ...
Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers obtenus en multipliant p et q par n,pn et qn,ont le même nombre ...
Soit un entier n positif. On considère toutes les partitions de cet entier en une somme d’entiers strictement positifs a1, a2, ….ak tels que a1 + a2 + ….+ ak = n et pour chacune de ces partitions ...
Le classique parmi les classiques [* à la main] Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, ...
Le pharaon Khéops demande à son vizir Hemiounou de concevoir deux pyramides à base carrée construites avec des blocs de pierre calcaire cubiques d’une coudée(1) de côté de sorte qu’il soit possible ...
Six nombres entiers strictement positifs distincts sont écrits sur le tableau noir. Un tour consiste à effacer deux d’entre eux, a et b par exemple, que l’on remplace par leur PGCD (plus grand commun ...
Soit un entier n ≥ 0. On cherche les entiers strictement positifs x tel que la somme des puissances de x d’ordre 0 à n est un carré parfait. En d’autres termes, pour un entier n donné, on cherche ...
Q1 Soit un entier n < 2020. Zig écrit au tableau noir deux fractions inverses l’une de l’autre 2020/n et n/2020 puis il écrit une troisième fraction qui est la moyenne arithmétique de ces deux ...
Q1 Déterminer les quatre plus petits facteurs premiers de 332 – 232 puis de 532 – 232 . Q2 Déterminer le plus petit nombre premier p0 tel que pour tout nombre premier p > p0 l’entier ...
Un entier n est dit « sympathique » s’il s’exprime de deux manières au moins sous la forme de la somme d’une puissance de 2 et d’une puissance de 3. Q1 Démontrer qu’on sait trouver au moins cinq entiers ...
La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Q1 Déterminer toutes les ...
Q1 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation(1) de deux carrés parfaits >0 [*] Q2 Démontrer qu’il existe une infinité ...
Problème proposé par Dominique Roux Q1 Est-il vrai que tout entier est somme des cubes de trois entiers positifs ou négatifs? Q2 Est-il vrai que tout rationnel est somme des cubes de trois rationnels ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Trouver tous les triplets d’entiers strictement positifs x,y,z tels que x≤ y ≤ z et x3(y3 + z3) = 2020(xyz + 2) Q2 Déterminer au moins 250 entiers N strictement ...
Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto(1) dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque ...
Problèmes proposés par Michel Lafond Problème n°1 On recherche les nombres premiers distincts p1, p2 , p3,….pk qui s’accordent entre eux de sorte que les cumuls successifs p1 + p2, p1 + p2 + p3, …, ...
77.
A5907-Perles rares
(A. Arithmetique et algèbre/A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n)
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Q1 Montrer que l'entier écrit 111 n'est jamais un carré parfait, quelle que soit la base de numération.[*] Q2 En quelle base de numération 11111 est-il ...
On s’intéresse à la suite Sn de n entiers distincts a₁ = 1,a₂,…,ak,..an > 0 qui a la propriété suivante : pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n, ak est le plus petit entier ...
Soit un entier p > 0.On considère l’ensemble Ep des entiers égaux à la somme de p carrés parfaits consécutifs. Q1 Démontrer qu’on sait trouver un nombre premier p > 2020 tel qu’il existe un élément ...
Nob Yoshigahara, célèbre compositeur japonais de récréations mathématiques et de puzzles vous propose de résoudre les deux jongleries suivantes, de préférence sans l’aide d’un quelconque automate : ...
Problème proposé par Marc Humery Voici trois séries cousines. Deux d'entre elles sont d'approche facile, la troisième est plutôt revêche. Préciser laquelle en justifiant vos calculs de ces trois séries. ...
Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)). On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus ...
Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme pour toutes les valeurs entières de k ≥1: 3/3, 7/5,11/7,etc... Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y ...
Q1 Trouver les solutions réelles et complexes en x de l’équation quartique x4 + 4x ‒ 1 = 0 Q2 Trouver les solutions en x et y nombres réels, x ≠ y, tels que = 0 Q3 Trouver les solutions en x,y ...
Q₁[**] Si l’on ajoute 1 à ce nombre premier p et à son carré p², on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer p et prouver qu’il est unique. Déterminer le plus petit entier a > 1 qui ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Existe-t-il au moins un entier n tel que n! (factorielle de n) se termine par 2021 zéros? Si oui donner le plus petit n. Si non donner le plus petit entier m >2021 ...
Q₁[*] Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier. Q₂[**] Déterminer ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Déterminer les entiers n positifs ≤ 2021 tels que : 1er cas : la somme des deux plus grands diviseurs de n est la puissance d’ordre 4 de la somme de ses trois ...
Q₁ Simplifier l’expression (calculette exclue!) : Q₂ Trouver les solutions réelles ...
Q1 Trouver au moins deux exemples d’entiers strictement positifs distincts m et n, 0 < m < n < 100, tels que les produits mn et (m + 1).(n + 1) sont des carrés parfaits. Q2 Démontrer ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Pour tout entier n ≥ 1, on s’intéresse à cinq suites infinies de nombres appelés « géométriques » ou « figurés » : - les nombres triangulaires: ...
A- Le classique parmi les classiques A1 Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine ...
Problème proposé par Elie Stinès Nous dirons que lorsqu’on divise un nombre entier n > 0 par son nombre de diviseurs positifs (y compris 1 et n), le quotient s’appelle le descendant du nombre n. ...
Pb₁ Déterminer les couples d’entiers positifs (x,y) tels que 1/x + 1/y =1/2021.[*] Pb₂ Déterminer la plus petite valeur de l'entier z telle qu' il existe exactement 27 couples d'entiers strictement ...
1er zakouski Zig choisit deux nombres premiers distincts p et q et demande à Puce de déterminer le plus petit entier positif a tel que le reste de la division de aq par p est égal à 1 puis le plus ...
Problème proposé par Raymond Bloch. Puce trace sur une feuille de format A3 (29,7cm x 42 cm) un rectangle PQRS dont les longueurs des côtés PQ = a, QR = b et de la diagonale PR = c s’expriment ...
Ex1 Je suis le plus petit entier à quatre chiffres qui est le reste d’une division de nn par n! (factorielle de n) pour un entier n convenablement choisi. Qui suis-je ?[*} Ex2 Dans la suite croissante ...
On considère l’équation diophantienne (E) : na + (n+1)b + (n+2)c + (n+3)d = (n + 4)e dans laquelle n est un entier strictement positif et les exposants a,b,c,d,e sont des entiers positifs ou nuls. ...
On désigne par sdc(x) la somme des chiffres de l’entier positif x. Q1 Trouver un entier positif m tel que m majoré de 10% est toujours un entier m’ et sdc(m’) est inférieur de 10% à sdc(m) [**] Q2 ...
Q1 Déterminer quatre entiers a,b,c,d écrits avec les dix chiffres de 0 à 9 utilisés une fois et une seule tels que les produits a*b et c*d sont égaux et sont dans le premier cas : minimaux ...
Moyen ***
