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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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A516. Des sommes bien encadrées Imprimer Envoyer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

calculator_edit.png  

Démontrer que pour tout n ≥2, la somme des n premiers nombres premiers (2,3,5,7,11,etc...)est comprise entre n2 et n3 et celle de leurs carrés entre  n3 et n4.
Pour les plus courageux : pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, est-il vrai qu’à partir d’un certain rang nk , pour tout n > nk , la somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers est comprise entre nk+1 et  nk+2 ?


Comme l'ont remarqué plusieurs lecteurs, la résolution de ce problème suppose admises des propriétés sur le comportement asymptotique des nombres premiers. Il existe une approximation bien connue du n-ième nombre premier pn ≈ nLn(n) mais elle ne suffit pas pour démontrer que la somme des puissances d'ordre k des n premiers nombres premeirs est <nk+2.Il faut des encadrements plus précis tels que ceux décrits par pdfPierre Dusart, par exemple celui obtenu à partir du théorème de Rosser: Ln(n) + Ln(Ln(n) - 1 < pn/n < Ln(n) + Ln(Ln(n)) pour n≥ 6.
pdfMichel Lafond,pdfPatrick Gordon,pdfMarc Humery,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfGaston Parrour,pdfPaul Voyer et pdfAntoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème en faisant généralement appel aux propriétés asymptotiques de pn.

 
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