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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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A1727. Bienvenue à 2020 Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png  

Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2020 respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple, pour obtenir 75 on pourrait écrire 75 = (1 – 2 + 3 ) x 4 –5 x (6 –7) + 8 x 9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.
Par exemple, avec 75 = 3 + 8 x 9, les seuls chiffres 3,8 et 9 ont été utilisés.

Les puissances de 2 à l’unité près [*** à la main]
Est-il possible d’arranger tous les entiers de 1 à 2020 en 1010 paires distinctes de sorte que la somme de chaque paire est de la forme 2k – 1 avec k entier > 0 ?

Suite autobiographique [*** à la main]
Je suis le numéro 2 d’une liste ordonnée croissante d’entiers tels que pour chacun d’eux le premier chiffre en partant de la gauche indique le nombre de zéro(s), le deuxième chiffre suivant indique le nombre de « 1 », le troisième chiffre indique  le nombre de « 2 »,etc…..
Qui suis-je ? Quels sont tous mes colistiers ?

Suite audioactive [* à la main]
Soit une suite d’entiers S dont le premier terme est n₁. Chaque terme se détermine en annonçant à voix haute les nombres de fois qu’apparaissent les chiffres formant le terme précédent. Par exemple,avec n1 = 117, on a n2 = 2117 (117 contient deux  fois « 1 » puis une fois « 7 ») puis n3 = 122117 (2117 contient une fois « 2 », puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »), etc….
Sachant que dans chaque terme de la suite n1, n2,…nk, un même chiffre n’apparaît jamais plus de neuf fois d’affilée, déterminer k et n1 dans les deux cas suivants :
nk = 31123119
nk = 1113122112111312211011131221121113122110.

Joute arithmétique [** à la main]
On désigne par g le PGCD (plus grand commun diviseur) et par p le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers strictement positifs a et b. Diophante confie à Zig les trois équations p + g = 2020, p.g = 2020 et p/g = 2020 (avec pour cette troisième équation la contrainte g = 1) puis  à Puce l’équation p – g = 2020 et leur demande de déterminer toutes les paires d’entiers (a,b) qui sont les solutions de chacune d’elles.
Le score de chacun d’eux est le nombre total de paires d’entiers (a,b) obtenues après la résolution des équations qu’ils ont reçues. Qui gagne la joute ?

Les tétraphiles  et les tétraphobes [**** avec l’aide d’un automate]
Un entier n est appelé « tétraphile » si l’on peut l’exprimer comme la somme de quatre entiers positifs distincts a,b,c,d, a < b < c < d, tels que a divise b, b divise c et c divise d. Sinon c’est un « tétraphobe »
Q1 Démontrer que 2020 est tétraphile
Q2 Dénombrer les  entiers tétraphobes inférieurs à 2020.
Q₃3 Pour les plus courageux : les entiers tétraphobes sont-ils en nombre fini ou infini ?

L’aire AMEN [*** à la main]
Soit un triangle ABC  défini pas ses côtés BC = 78 cm, CA = 75 cm et AB = 57 cm. La bissectrice de l’angle en A coupe BC au point D et le cercle circonscrit à ABC au point E. Le point D se projette en M et N sur les droites [AB] et [AC]. Déterminer l’aire du quadrilatère AMEN au cm² le plus proche.

 
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