Accueil 
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1884. Troisième variation sur un thème donné
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1884. Troisième variation sur un thème donné
Avertissement
Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône 
Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône 
Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.
figure seule.
Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
Avertissement
| A1884. Troisième variation sur un thème donné |
 |
 |
| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
|
Q1 Vérifier avec l'aide d'un automate qu'il existe cinquante entiers consécutifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres [*]
Q2 Démontrer que pour tout entier positif n , il existe une suite de n entiers consécutifs positifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres. [*****] Nota: ce problème fait suite aux problèmes A1881 et A1883  Jean Moreau de Saint Martin,Thérèse Eveilleau et Bernard Vignes ont résolu tout ou partie du problème.Gwenaël Robert,Daniel Collignon et Antoine Verroken ont également résolu le problème en notant que les entiers divisibles par la somme de leurs chiffres dans une base donnée sont appelés nombres d'Harshad ou encore nombres de Niven.Ces nombres sont référencés dans l'OEIS (cf https://oeis.org/A144378) et font l'objet d'analyses nombreuses qui donnent une réponse à Q2. Ainsi on peut lire avec intérêt l'article de Jean-Marie de Koninck et de Nicolas Doyon "Large and small gaps between consecitive Niven numbers" (cf pages 3 et suivantes) |
