On met une étiquette bleue à tout entier b > 0  s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout entier r  > 0  s’il existe au moins un entier q > r  tel que r est égal à q –  la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q₁ Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q₂ Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q₅ Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient  le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et  dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]