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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A356. Les bleues,les rouges et les violettes Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

calculator_edit.png  

On met une étiquette bleue à tout entier b > 0  s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout entier r  > 0  s’il existe au moins un entier q > r  tel que r est égal à q –  la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q1 Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q2 Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q5 Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient  le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et  dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]



pdfPierre Henri Palmade,pdfGaston Parrour,pdfMaurice Bauval,pdfPhilippe Laugerat,pdfFrancesco Franzosi,pdfPaul Voyer et pdfDaniel Collignon ont résolu le problème.
Les lecteurs on fait remarquer à juste titre que la question n°5 n'a pas de réponse pertinente. L'auteur de l'énoncé du problème plaide coupable. En effet sur la base des valeurs des étiquettes violettes < 2015, il a estimé (à tort)  qu'elles se terminaient toutes par 7 our 8 à l'exclusion de la première qui vaut  9.
Or les étiquettes violettes peuvent se terminer par n'importe quel chiffre de 0 à 9. Il faut simplement un peu de patience pour obtenir le dernier chiffre (dc) égal à 6 avec 19926, encore un peu plus de patience pour avoir dc=5 avec 199935, puis dc = 4 avec 1999944 etc...
Une séquence "logique" d'etiquettes violettes qui donnent tous les derniers chiffres de 0 à 9 serait la suivante,
9
108,
1917,
29 016,
390 015,
4 900 014,
59 000 013,
690 000 012,
7 900 000 011,
89 000 000 010,
990 000 000 009
Il en résulte que la question Q5 n'a aucun intérêt.
La question suivante eût été plus adpatée: quel est le premier entier violet >9. La bonne réponse (à vérifier) serait: 990 000 000 009.
Notons enfin que les nombres bleus ne sont autres que les self-numbers longuement étudiés par le mathématicien indien D.R. Kaprekar. Ils sont également connus sous le vocable de nombres colombiens.


 
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