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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A4. Equations diophantiennes

A4950-Un peu d'aire

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A4950-Un peu d'aire

A4. Equations diophantiennes

Problème proposé par Raymond Bloch.

a4950

Puce trace sur une feuille de format A3 (29,7cm x 42 cm) un rectangle PQRS dont les longueurs des côtés
PQ = a, QR = b et de la diagonale PR = c s’expriment en nombres entiers de centimètres (cm). Il ampute ce rectangle de deux carrés de côté k = 3 cm aux extrémités de la diagonale QS (voir figure ci-contre) et constate que la longueur du segment UV qui joint les deux coins les plus proches de ces deux petits carrés s’exprime aussi en nombre entier de centimètres.
Q₁ Déterminer l’aire du rectangle PQRS.[*]
Pour les plus courageux :
Q₂ Prouver qu’il existe dans le plan considéré dans sa totalité une infinité dénombrable de rectangles PQRS dont les côtés et les deux diagonales ont des dimensions entières en cm tels que si on les ampute de deux carrés de côté k = 3 cm aux extrémités de l’une des diagonales, la longueur du segment UV entre les deux coins les plus proches de ces deux petits carrés est entière[***]
Q₃ Pour quelles valeurs entières k des côtés des deux carrés, Puce peut-il tracer dans le plan des rectangles PQRS tels que les côtés PQ,QR, la diagonale PR et le segment UV ont des longueurs entières ?[*****]

Solution