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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

A1867. Bienvenue à 2016

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A1867. Bienvenue à 2016

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de cinq énigmes qui ont été préparées par Raymond Bloch et mettent le nouveau millésime à l'honneur.

1ère énigme
Résoudre le cryptarithme LE + NOUVEL + AN + 2016 = ARRIVE, dans lequel les lettres représentent des chiffres distincts choisis dans l'ensemble {0,1,2,3,...9} et aucun nombre ne commence par zéro.
2ème énigme
Existe-t-il un carré parfait dont la somme des chiffres est 2016 ?
3ème énigme
Existe-t-il une puissance de 2 se terminant par 2016 ? Si oui, quelle est la plus petite ? Si non, prouvez que c’est impossible.
4ème énigme
L’hexagone obtenu en construisant 3 carrés à l’extérieur des côtés d’un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs entières p et q, p > q , a une aire égale à 2016.Trouver p et q.
5ème énigme
On considère quatre additions: la première contient quatre entiers de 4,3,2 et 1 chiffres, la seconde un seul entier de 4 chiffres et trois entiers de 2 chiffres, la troisième deux entiers de 3 chiffres et deux entiers de 2 chiffres et la dernière trois entiers de 3 chiffres et un entier à 1 chiffre. Dans chaque addition les quatre entiers utilisent les 10 chiffres de 0 à 9 une fois et une seule.
Q₁:Démontrer que pour l’une des quatre additions, il est impossible d’obtenir le total 2016 mais qu’à l’inverse c’est possible pour les trois autres désignées par A₁,A₂ et A₃.
Q₂:On inscrit les contenus des additions A₁,A₂ et A₃. de total 2016 dans un tableau à double entrée de 5 lignes et 3 colonnes. Dans chaque colonne n°i les entiers de l’addition A_i ( i = 1,2,3) sont écrits dans l’ordre décroissant sur les lignes j = 1,2,3,4 .La cinquième ligne donne le même total 2016 des trois colonnes.
On constate que :
- le PGCD de tous les entiers du tableau est un entier p > 1.
- sur la première ligne du tableau,un entier est le double d’un autre.
- sur la deuxième ligne, deux entiers sont identiques.
- sur la troisième ligne, deux d’entre eux sont égaux à p².
Déterminer les trois additions A₁,A₂ et A₃.

Q₃:Pour les plus courageux: en quelle année X postérieure à 2016 et la plus proche de 2016, est-il possible de construire trois additions qui ont les mêmes propriétés que celles de Q₂?

Solution