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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A2. Algèbre élémentaire A2839. Commutations à la chaîne
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A2. Algèbre élémentaire A2839. Commutations à la chaîne
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| A2839. Commutations à la chaîne |
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| A2. Algèbre élémentaire |
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Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x2 – 1. Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) = x2 – a et P3(x) sont commutables. Q2 Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x² – a. Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x). Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j  Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Jean Louis Legrand,Anne Bauval,Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon,Maurice Bauval,Louis Rogliano,Thérèse Eveilleau,Gaston Parrour,Marc Humery ont résolu tout ou partie du problème. |
