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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

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A1731-Accords parfaits

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

Problèmes proposés par Michel Lafond

Problème n°1
On recherche les nombres premiers distincts p₁, p₂ , p₃,….p_k qui s’accordent entre eux de sorte que les cumuls successifs p₁ + p₂, p₁ + p₂ + p₃, …,

sont tous des carrés parfaits. Déterminer la plus grande valeur possible k₀ de k et donner trois suites de k₀ nombres premiers distincts < 100 qui ont cette propriété.

Problème n°2
On recherche les nombres premiers distincts p₁, p₂ , p₃,….p_k, k ≥ 3, qui s’accordent entre eux de sorte que les entiers 2p₁ + p₂, 2p₂ + p₃, ….,2p_k-1 + p_k, 2p_k + p₁ sont tous des carrés parfaits. On dit alors que les k nombres premiers forment un circuit parfait d’ordre k.
Déterminer un ensemble de sept nombres premiers à partir duquel on peut former au moins dix circuits parfaits distincts(1) d’ordres 3,4,5,6 et 7. Représenter le graphe correspondant.
Pour les plus courageux : déterminer un ensemble de nombres premiers distincts < 2020 permettant d’obtenir un circuit parfait d’ordre > 20.

Problème n°3
Déterminer les couples de nombres premiers distincts p₁ et p₂ qui s’accordent entre eux de sorte que les sommes p₁ + 6p₂ et p₁ + 9p₂ sont deux carrés parfaits consécutifs et les sommes 4p₁ + p₂ et 5p₁ + p₂ sont aussi deux carrés parfaits consécutifs.

(1)Nota : deux circuits sont distincts si au moins un arc de l’un diffère d’un arc de l’autre.

Ssolution