Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
A1982. Enigmatiques additions Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
calculator_edit.png  

P1 : Des entiers positifs sont dits « semblables » s’ils sont écrits avec les mêmes chiffres. Par exemple : 112,121,211 écrits avec deux chiffres ‘1’ et un chiffre ‘2’. Trouver le plus petit entier  qui a au moins 2011 chiffres et qui est  la somme de deux entiers qui lui sont semblables.
P2 : Trouver trois entiers positifs tels que leur addition donne un nombre dont la somme des chiffres dépasse 125 et l’addition de deux quelconques d’entre eux donne un nombre dont la somme des chiffres est toujours plus petite que 10.
P3 : Trouver le plus grand entier dont tous les chiffres sont distincts et qui est la somme de deux entiers écrits l’un et l’autre avec seulement deux chiffres distincts. Par exemple, l’entier 1476 qui a quatre chiffres distincts est la somme de 1121 et de 355 écrits respectivement avec les chiffres (1,2) et (3,5).




Philippe Laugerat,Michel Lafond,Daniel Collignon et Patrick Gordon ont donné leurs meilleures solutions des trois problèmes.De son côté Jean Moreau de Saint Martin a fait une analyse fouillée du premier problème.

Commentaires:
P1: le plus petit entier est 20.(2007 fois).0961= 10.(2007 fois).0269+10.(2007 foisà.692
P2: les trois entiers sont respectivement:
a = 4 554 554 554 554 554 554 554 555
b = 5 455 455 455 455 455 455 455 455
c = 5 545 545 545 545 545 545 545 545
P3: la réponse optimale est :9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017l
Cette énigme peut se résoudre manuellement, l'ordinateur servant simplement à  contrôler le résultat obtenu.
Il est logique de chercher deux entiers A et B, A > B, dont la somme S donne un entier à 10 chiffres le plus proche possible du plus grand entier dont tous les chiffres distincts : 9876543210.
Dès lors A a dix chiffres et B a au moins six chiffres, sinon quelles que soient les retenues de A + B, les cinq premiers chiffres de A donneraient nécessairement au moins un couple de chiffres identiques dans les cinq premiers chiffres de S.
Par ailleurs si (p,q) et (r,s) sont respectivement les deux couples de chiffres utilisés pour écrire A et B, avec p,q,r,s compris entre 0 et 9, le chiffre r (comme s) additionné à p et à q avec ou sans retenue donne au plus quatre chiffres distincts dans S, soit au plus huit chiffres distincts au total pour le couple (r,s) additionné à (p,q).
Il en découle que B a au plus huit chiffres et que le premier chiffre de A est 9.
- Si B a huit chiffres, les deux premiers chiffres de A sont distincts et fournissent les 10 – 8 = 2 chiffres distincts manquants de S.
- Si B a sept chiffres, les trois premiers chiffres de A avec une retenue de 1 ajoutée à son troisième chiffre donnent les 10 – 7 = 3 chiffres distincts manquants de S.
- Les «bons» couples (9,q) et (r,s) qui donnent huit chiffres distincts dans S sont peu nombreux et s’obtiennent rapidement: (9,5) et (4,2), (9,4) et (3,1). Logiquement p – q > 1 et r – s > 1 et les couples (p,q) = (9,7) ou (9,6) sont exclus car ils génèrent trop de retenues dans les additions du type p+r,q+r,q+r et q+s.
Après quelques tâtonnements, il apparaît que les «bons» couples (9,5) et (4,2) avec B à sept chiffres donnent la solution optimale : 9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017 qui est confirmée par un programme informatique. Une solution voisine avec B à six chiffres donne une somme inférieure: 9 559 995 995 + 442 222 = 9 560 438 217.
 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional