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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1744. La saga de la jonglerie des chiffres (13ème épisode)

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

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Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A1744. La saga de la jonglerie des chiffres (13ème épisode) Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png  nouveau 

Nob Yoshigahara, célèbre compositeur japonais de récréations mathématiques et de puzzles vous propose de résoudre les deux jongleries suivantes, de préférence sans l’aide d’un quelconque automate :
Jonglerie n°1
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont des entiers à deux chiffres et les dénominateurs sont à un seul chiffre plus grand que 1, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Q₁ Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.
Q₂ Existe-t-il des solutions pour n = 12 ? n = 14 ? n = 76 ? n = 79 ? n = 87 ? Si oui combien dans chacun des cinq cas ?
Jonglerie n°2
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont à un seul chiffre et les dénominateurs sont des entiers à deux chiffres, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
 
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