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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A2828. Unité,Unité,..Vive l'Unité Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

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Q1 Soit un entier n < 2020. Zig écrit au tableau noir deux fractions inverses l’une de l’autre 2020/n et n/2020 puis il écrit une troisième fraction qui est la moyenne arithmétique de ces deux fractions. Il poursuit les calculs et à chaque étape il choisit deux fractions fi et fj parmi celles qu’il a déjà été écrites et il obtient une nouvelle fraction qui en est la moyenne arithmétique (fi + fj)/2.
Déterminer toutes les valeurs de l’entier n telles qu’au bout d’un nombre fini d’étapes Zig parvient à obtenir l’entier 1.
Q2 Deux fractions rationnelles m/n et n/m sont écrites au tableau noir, avec m et n entiers relativement premiers entre eux.  On calcule la moyenne arithmétique de ces deux fractions. On poursuit les calculs et à chaque étape on choisit deux fractions fi et fj parmi celles qui ont déjà été écrites et on obtient une nouvelle fraction qui en est la moyenne arithmétique (fi + fj)/2
Déterminer toutes les paires entiers (m,n) telles qu’au bout d’un nombre fini d’étapes on parvient à obtenir l’entier 1.



 
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