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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A8. Jouez avec une calculette A817-La saga de Méphisto-1er épisode
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A8. Jouez avec une calculette A817-La saga de Méphisto-1er épisode
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| A817-La saga de Méphisto-1er épisode |
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| A8. Jouez avec une calculette |
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Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto(1) dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q1 Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**] Q2 En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****] Q3 Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement [*****] (1)Nota : alias « mes φ σ τau » Ce problème a été posé aux dernières olympiades mathématiques d'été aux Etats Unis d'Amérique (Elmo Literally Moved Online). Les deux premières questions ont été résolues par nos lecteurs:  Jacques Guitonneau,Daniel Collignon,Claude Felloneau,Francesco Franzosi,Thérèse Eveilleau,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Elie Stinès,Fabien Gigante,Jean Nicot.La plupart des lecteurs ont évoqué une méthode de résolution de la question Q3 qui consiste à trouver à partir de 2* pour tout entier n un multiple de 2n à l'aide des fonctions σ et φ en un nombre fini d’étapes et d'appliquer ensuite en tant que de besoin la fonction φ et de donner le "coup de grâce" avec la fonction τ. On trouvera en version anglaise une solution donnée par l'auteur du problème Jaedon Whyte ainsi qu'une version en français d'une autre solution donnée par un candidat américain A817PF.pdf*obtenu à partir de p par la fonction τ appliquée autant de fois que nécessaire. |
