Une grille carrée de côté n contient tous les entiers de 1 à n2 qui sont échelonnés le long d’un unique serpentin de telle sorte que deux entiers consécutifs sont adjacents le long d’une ligne ou d’une ...
1er
exemple :
Je m'adonne à une patience bien connue qui a été livrée sur
mon ordinateur personnel. Je gagne la 1ère partie, je perds la 2ème
et ...
Ma rue est à sens unique et la vitesse des véhicules à moteur est limitée à 30km/h. J'ai la fâcheuse manie de traverser la rue en courant ...
Une loterie est organisée sous la forme d’une carte de loto à 50 cases. Remplir une carte consiste à déclarer dans les 50 cases une permutation des 50 premiers nombres entiers, par exemple : case n°1 ...
Zig et Puce jouent à pile ou face. Si la pièce tombe sur
pile, ...
1 Diophante a l'assurance de recevoir le gros lot s'il gagne aux échecs ...
Après avoit creusé son 2010ième trou, le sapeur
Camember a devant lui un gros tas de 2010 cailloux qu'il a scrupuleusement
numérotés de 1 à 2010. Il considère tous ...
Soit un polygone de n côtés, convexe ou non, dont les
côtés ne se coupent pas entre eux et qui contient à l'intérieur k angles droits et n - k angles différents de 90°.
Exemple ...
Sur un échiquier, 17 cases sont marquées. Montrer qu'on peut en choisir deux de sorte qu'un cavalier ait besoin d'au moins 3 coups pour aller de l'une à l'autre. Ptoblème paru dans La Jaune et la ...
Tous les petits et les grands et pas seulement les cancres du fond de la classe connaissent le jeu du morpion où deux joueurs n°1 et n°2 placent à tour de rôle une croix (X) et un rond (O) dans les cases ...
J127-Labyrinthe-énoncé J127-solution
Un plateau de jeu présente n alvéoles disposés aux sommets d'un polygone régulier, et numérotés de 1 à n. Dans chaque alvéole, un pion à deux faces (une blanche, une noire). A partir d'une disposition ...
Insatisfait de la réponse donnée dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2019 (cf. problème J10231), Dunabla s'est limité à 8 couleurs, en cherchant à minimiser le nombre d'entorses à la condition ...
Sur l'échiquier, la Dame domine les cases de sa rangée et de sa colonne, ainsi que les cases reliées à elle par une parallèle à l'une ou l'autre des diagonales de l'échiquier. Placez 5 Dames ...
On pave un échiquier avec des dominos qui couvrent chacun deux cases. Si le domino couvre deux cases d'une même colonne, il est dit vertical. S'il couvre deux cases d'une même rangée, il est dit horizontal, ...
Cette tour circulaire vue de l'extérieur avec un rayon de 5 mètres a une architecture intérieure pour le moins originale : les salles des trois premiers étages ont la forme de polygones réguliers ...
Dans un carré de côté 80, je trace des cercles dont la
longueur totale des circonférences est égale à 2008. Montrer qu’il existe une droite
qui coupe au moins 8 d’entre eux.
...
Après une journée laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi
noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmilière.
Leurs deux trajectoires sont rectilignes et à tout instant ...
Soit un triangle ABC acutangle dont O est le centre du
cercle circonscrit et H est l'orthocentre. On désigne par P, Q, R les
pieds des hauteurs issues de A,B,C sur les côtés ...
Le fakir Cipaçalouvishni a des dons de voyance qu'il montre avec une très belle boule (sphérique) de cristal . Vous disposez d'un compas, d'une grande feuille de papier, d'une règle graduée et ...
Sur la terre battue du court central de Roland Garros, les ramasseurs de balles Zig et Puce tracent trois lignes droites X, Y et Z concourantes en O (voir figure ci-après). Elles déterminent deux angles ...
Atchoum (A), Prof (P), Dormeur (D), Grincheux (G) et Joyeux (J) se placent dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle. Simplet (S) et Timide (T) se placent respectivement à l'intersection ...
1-
Ce premier triangle ABC a un angle obtus en A et l'angle en B est le double de l'angle en C. Le
cercle circonscrit à ABC a pour centre O et rayon R ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit un triangle ABC. Déterminer à la règle et au compas l'ensemble des points D du plan contenant ABC tels que les parallèles menées respectivement des points A, ...
Je trace 2009 points dans le plan de telle sorte que trois
d'entre eux ne sont jamais sur la même droite. Quel est le nombre maximum de
polygones convexes qui ont tous le ...
Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = ...
Problème proposé par Dominique Roux d'après olympiades internationales de mathématiques
Démontrer que dans tout triangle le rapport de la somme des carrés des côtés à l'aire du
triangle est ...
On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Soient un triangle ABC et trois réels positifs u, v, w. On considère le point P barycentre des points A, B, C, affectés des coefficients u, v, ...
Quatre droites déterminent six points et quatre triangles.
Démontrer que les quatre cercles circonscrits à ces triangles ont un point
commun P (1er théorème), que
leurs centres sont situés sur ...
Sur les côtés AB, BC et AC d'un triangle ABC, on construit respectivement les carrés intérieurs ABDE, BCFG et ACHI dont les centres sont les points J,K et L. On désigne par M,N et P les milieux ...
Q1- Dans ce quadrilatère convexe ABCD, on a AB = CD et les angles en A et C sont égaux. ABCD est nécessairement un parallélogramme : vrai ou faux ?
Q2- Deux quadrilatères convexes ABCD et PQRS sont ...
Quatre points A, B, C et D sont situés dans cet ordre sur la circonférence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont égales entre elles et l’on a la relation 1/AB = 1/AC + 1/AD. Montrer que les quatre ...
Soit une suite réelle vérifiant pour tout entier naturel n, la relation : où désigne la valeur absolue de . Montrer que . Source : concours général Classe Terminale S 1998
H104-solution ...
On appelle chaîne de puissances d'ordre n une permutation des n premiers nombres entiers (0 exclu) telle que la somme de deux termes adjacents quelconques soit toujours une puissance d'un nombre entier ...
Dans ce jeu, Diophante qui en est le meneur choisit un nombre X inférieur ou égal à un entier N fixé à l'avance et d'un commun accord avec son ami Hippolyte. Le but du jeu est de faire deviner X ...
Un triangle partage le plan en deux zones distinctes. Avec un deux triangles, la plan peut être partagé en huit zones au maximum comme le montre la figure ci-après :
Quel est le nombre ...
On considère la séquence de nombres entiers définie par un = un-1 + un-2 avec u1 = 1 et u2 = 2. On considère tous les triplets (ui,uj,uk) avec 1 et on calcule la somme des trois termes. Quelle ...
Un dessinateur possède une règle graduée en centimètres de longueur 15 centimètres et dont les divisions sont effacées à l'exception des deux extrémités qui donnent 0 et 15 et de n divisions situées ...
2007 voitures roulent dans le même sens sur une route où il est impossible de doubler. On suppose que chacune des voitures a la même probabilité d'occuper un quelconque des rangs dans ce défilé et que ...
Un pion occupe une case d'un damier sans frontières, au nombre de cases illimité. Il ne peut se déplacer que d'une seule case à la fois, à droite, à gauche, en haut ou en bas, jamais en diagonale. ...
Pour remplir une grille de loto de 49 cases, il faut marquer 6 cases. Un joueur adopte cette stratégie : il tire au sort un nombre entre 1 et 49, et élimine le numéro sorti. Il recommence l'opération ...
Un concert exceptionnel de musique réunit dans un vaste théâtre en plein air 2006 spectateurs qui ont tous eu la sagesse de réserver leurs places. Malgré ces précautions, l'installation des spectateurs ...
Vous écrivez une suite d’entiers dont le premier terme est un entier naturel quelconque N. Chaque terme de la suite est choisi par tirage au sort avec égalité des chances parmi les diviseurs de l’entier ...
Diophante demande à Hippolyte, Théophile et Hippatie de calculer la probabilité pour qu'une corde tracée au hasard sur un cercle de rayon 1 soit de longueur inférieure au côté du triangle équilatéral ...
Diophante et Hippolyte ont chacun une très vieille pièce de monnaie. L'une et l'autre sont loin d'être parfaites et les probabilités d'obtenir Pile sont respectivement p (pour celle de Diophante) et ...
Deux équipes de volley-ball A et B sont à égalité 19-19.On suppose que :
- la probabilité de gain d'un échange est p pour A et q=1-p pour B pour l'ensemble des échanges réalisés jusqu'à la fin ...
Le yam est un jeu qui se joue avec cinq dés à 6 faces. Un yam est obtenu quand les 5 dés montrent la même face. On est autorisé à lancer les dés trois fois. Aux 2 ème et 3 ème lancers, on peut reprendre ...
Un fourmi est située à l'un des quatre sommets d'un tétraèdre régulier. A chaque minute, elle choisit au hasard l'une des arêtes partant d'un sommet et se dirige vers la deuxième extrémité de l'arête ...
F154-énoncé F154-solution
Cette grille est constituée exclusivement de carrés parfaits tous distincts qui ne contiennent que les chiffres 1,2,5 et 6. Quels sont les 28 carrés parfaits ?
F153-solution ...
Ces deux grilles sont remplies uniquement avec des cubes. Quels sont ces cubes ?
Nota : les deux grilles sont indépendantes l'une de l'autre et le même cube peut apparaître dans ...
Cette grille est constituée uniquement de carrés parfaits tous distincts entre eux.
Nota : la solution est unique
F151-solution
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La grille ci-après est remplie uniquement par des nombres tous distincts entre eux qui font partie de la suite de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... Quels sont ces nombres ?
Nota : ...
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL
F110-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL
F109-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL F108-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL F107-Solution.pdf
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL F106-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL F105-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL
F104-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL
F103-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL F102-Solution
Grille revue et corrigée par Jean MICHEL
F101-Solution
Jeu n°1 : sur un immense champ de foire, 2007 enfants sont tous armés d’un pistolet à eau. A un signal donné, chacun arrose son voisin le plus proche. En supposant que toutes les distances qui séparent ...
Ce problème est proposé par Jean Michel Ferrard En n points distincts d'une piste circulaire de 400 mètres de circonférence se trouvent n coureurs prêts à partir. Au top départ, chaque coureur démarre ...
Dans le problème E620, Goupil le renard et Zéphyrin le lièvre menaient une ronde très pacifique, chacun passant d'un terrier à un autre sans que le premier ait des velléités guerrières à l'égard du ...
Les entreprises cotées sur les marchés financiers sont soumis depuis plusieurs années à des règles de plus en plus strictes de bonne « gouvernance ». La société Aristokratia fait du zèle dans ce domaine. ...
On donne 2008 points dans le plan qui pris 3 par 3 ne sont jamais colinéaires. On suppose que la moitié d'entre eux sont coloriés en rouge et les autres en bleu. Montrer qu'il existe au moins deux ...
On considère les entiers de 1 à 64 que l'on place l'un après l'autre pas nécessairement dans l'ordre naturel sur les 64 cases d'un échiquier selon la règle suivante : pour tout entier k ( ) à ...
Ce monastère de Haute Provence est réputé à la fois pour l'hospitalité de son Père Abbé et l'ingéniosité de ses moines férus d'énigmes mathématiques. Récemment au repas de midi, le Père Abbé a annoncé ...
On écrit les 8 premiers nombres entiers dans l’ordre croissant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. On veut les réarranger dans l’ordre décroissant 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 en adoptant la règle suivante : Deux ...
Diophante a été chargé de réaliser le dictionnaire d’un nouveau langage qui ne comporte que deux lettres A et Z. Un nouveau mot est introduit dans ce dictionnaire s’il de déduit d’un mot déjà existant ...
On suppose que tous les points du plan sont peints soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu'il existe - au moins un triangle équilatéral dont les sommets ont la même couleur, - au moins un rectangle ...
Ce casse-tête est un succédané du jeu de taquin. Il est encore plus économique car il suffit d'une feuille de papier, d'un crayon et d'une gomme. On écrit sur N cases alignées sur un axe horizontal ...
Soient six points dans le plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais colinéaires et les distances qui les séparent deux à deux sont toutes distinctes entre elles. Démontrer qu'il existe un triangle ...
Après son expérience des œufs ramenés du Bourbonnais (voir E515), Diophante achète deux œufs sur le marché du boulevard de Grenelle et souhaite mesurer leur résistance ...
Dans ce pays où les mariages entre cousins germains ou cousins issus de germains sont tolérés, Monsieur Pingre organise un dîner très intime. C'est ainsi qu'il invite le beau-frère de son père, le beau-père ...
On dispose de huit boîtes qui contiennent chacune six boules. Chaque boule a une seule couleur. Dans chacune des huit boîtes, les boules sont toutes de couleurs différentes et chaque couple de couleurs ...
Dans une soirée mondaine où sont réunies N personnes, montrer qu'il y a au moins deux personnes qui connaissent la même nombre de personnes. Les relations mondaines sont symétriques : si Pierre connaît ...
Une soirée réunit 20 couples. Après le dîner, l'une des convives s'ennuie et demande aux 39 autres personnes y compris son mari combien de poignées de mains elles ont données à leur arrivée. Elle obtient ...
Dans le problème des 40 voleurs (E607), on se souvient que le chef des voleurs a réussi à faire libérer tous les voleurs. Cette fois-ci le Roi face à cette même bande de 40 voleurs qu'il a mise sous ...
On trouve à la Maison du Chocolat toutes les pièces aux formes les plus variées. Diophante et Hippolyte ont ainsi acheté deux plaques qui ont la forme de deux triangles équilatéraux ABC dont les côtés ...
Dans ces trois variantes du jeu de Nim, on considère trois tas T1,T2 et T3 alignés dans cet ordre et constitués respectivement de 15, 25 et 10 jetons. Les deux joueurs A et B prennent à tour de rôle ...
Dans cette variante du jeu de Nim, deux joueurs prennent à tour de rôle des jetons de deux tas différents, le vainqueur étant celui qui ramasse le dernier jeton. A chaque tour, un joueur peut prendre ...
La version de base du jeu de NIM est très connue. Elle se joue avec k piles constituées chacune de jetons. A tour de rôle, deux joueurs A et B prennent un nombre quelconque de jetons de l'une des ...
Anastase vient d'achever l'arbre généalogique de sa famille qui remonte quinze siècles exactement en arrière. Il fait part à Balthazar de la curiosité mathématique qu'il y a découverte : « J'ai ...
Diophante choisit trois entiers a, b et c compris entre 1 et 99. Il donne à chacun de ses trois amis Hippatie, Hippolyte et Théophile un papier sur lequel il a inscrit chacun de ces trois nombres. Il ...
Diophante a un sac contenant dix autocollants marqués des dix chiffres de 0 à 9. Il en utilise six pour inscrire deux carrés parfaits de trois chiffres chacun sur le front de ses amis Hippolyte et ...
Tout le monde connaît ce problème qui a fait le tour de la Terre . Le curé dit à son bedeau : « Le produit des âges des trois personnes que nous venons de croiser est égal à 2450 ...
Par quelle lettre faut-il remplacer les pointillés pour que les phrases ci-dessous soient conformes à leur contenu? Plusieurs réponses sont souvent possibles.
1- Pour ...
1ère famille : On considère la séquence de n+1 nombres entiers positifs ou nuls en base décimale dont le terme général ai est défini par : - pour tout i >9, ...
Chaque point du texte ci-dessous qui a été écrit en 1999 représente un chiffre. Les phrases qui y sont inscrites sont exactes. Reconstituer le texte :
Le capitaine est né en . . . . Il aura donc ...
On donne à chaque lettre de l'alphabet une valeur correspondant à son rang. Ainsi la lettre A vaut 1, la lettre B vaut 2,etc?. Trouver le plus petit nombre dont l'expression littérale coïncide avec ...
E202-énoncé E202-solution
La grille de chiffres ci-après est dite autoréférente :
En effet elle a les propriétés suivantes : - dans la 1 ère colonne sur fond rose, les 1 er,2 ème,3 ème,4 ème et 5 ème chiffres ...
Les deux séries de nombres ci-après sont telles que le kième nombre de la première ligne et le kième nombre de la seconde ligne se combinent selon une certaine règle de calcul R pour donner le (k+1)ième ...
Problème proposé par Michel Lafond Dans la suite de nombres entiers positifs ci-dessous : 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, ..., les entiers qui sont absents, à savoir 2, 6, 8, 10, ...
Construire à l'aide du seul compas les quatre sommets d'un carré sur la circonférence d'un cercle dont on ignore le rayon et la position du centre. Daniel Collignon a résolu le problème.
C'est un problème d'Al Hazen astronome arabe du début du XIème siècle : sur un billard circulaire une boule est placée en un point quelconque à sa surface. Dans quelle direction doit-elle être lancée ...
